Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Математическое моделирование физических процессов

Cтраница 3

Из сказанного ясно, что физическое и математическое моделирование (или, что то же самое, физическое и математическое исследование) физико-химических процессов нельзя осуществить независимо друг от друга. Математическое описание и математическая модель появляются в результате физического исследования (моделирования) процессов. Поскольку математическое моделирование не является самоцелью, а служит средством для оптимального осуществления процесса, то результаты его используются для создания оптимального физического объекта. Исследования на этом объекте (новое физическое моделирование) позволяют проверить результаты математического моделирования и улучшить математическую модель для решения новых задач.  

В книге рассмотрено применение методов физического и математического моделирования для решения ряда технических проблем, возникающих в инженерной практике при разработке, масштабировании и управлении химическими процессами нефтепереработки.  

Относительная роль и взаимосвязь методов физического и математического моделирования при исследованиях - в определенной мере вопрос конъюнктурный, зависящий от уровня развития вычислительной техники, прикладной математики и техники экспериментальных исследований. Еще сравнительно недавно (до появления и внедрения в практику ЭВМ) физическое моделирование было основным методом перехода от пробирки к заводу.  

Следует остановиться и на трудностях физического и математического моделирования колонных аппаратов, так как в данном елучае имеется двухфазная система с тяжеломоделируемыми и рассчитываемыми моментами межфазных переходов. Струйное впрыскивание и барботаж газа создают сложную гидродинамическую картину в колонных аппаратах. Даже самая упрощенная (квазигомогенная) модель колонных аппаратов приводит к нелинейным системам уравнений в частных производных, анализ которых в настоящее время даже с использованием средств электронно-вычислительной техники представляет определенные трудности.  

Приводится краткий обнор работ по физическому и математическому моделированию процессов филътрагдаи в газовых и газо-конденсатках месторождению. Определяются основные направления предстоящих исследований по каждому из видев моделирования.  

Из существующих методов наиболее широко применяется физическое и математическое моделирование. Это деление является условным, так как оба метода моделируют физические величины посредством самих физических величин. Различие заключается в том, что в первом случае моделирование осуществляется с помощью физических величин той же природы, во втором - физический процесс одной природы заменяется физическим процессом другой природы, но так, что оба физические явления подчиняются одинаковым законам. Они признаются аналогичными и математически описываются уравнениями одинаковой структуры. Так, электрическая система с индуктивностью, емкостью и сопротивлением может быть математической моделью колеблющегося на пружине груза. Здесь зарядка конденсатора, а затем его разрядка вследствие замыкания через сопротивление и емкость аналогичны отклонению груза от положения равновесия и последующего затухающего колебания.  

В современной экспериментальной практике широко применяют физическое и математическое моделирование, которое незаменимо в тех случаях, когда нельзя определить параметры машин расчетными методами, а построение их опытных образцов для экспериментального исследования требует больших материальных затрат и времени.  

При проектировании разработки газоконденсатных месторождений проводят комплексное физическое и математическое моделирование процесса дифференциальной конденсации пластовых смесей. В результате этих исследований получают величину давления начала конденсации, прогнозные данные о динамике выпадения и последующего испарения жидкой фазы при уменьшении давления, составе и свойствах добываемой смеси, коэффициентах конденсато - и компонентоотдачи.  

Во многих случаях целесообразно комбинировать установки физического и математического моделирования в единую систему, позволяющую совместить преимущества обоих методов.  

Эта теория, основанная на сочетании физического и математического моделирования, исходит из того, что указанный выше масштабный эффект обусловлен преимущественно ухудшением структуры потоков с увеличением размеров аппарата, и прежде всего - возрастанием неравномерности распределения скоростей по поперечному сечению аппарата.  

Формирование физико-геологической модели базируется на результатах физического и математического моделирования. Так, при физическом моделировании создаются искусственные модели с близкими к горным породам физическими свойствами и с соблюдением условий подобия, при математическом моделировании рассчитываются физические поля для заданных физических свойств с использованием соответствующих уравнений теории потенциальных полей или дифференциальных волновых уравнений.  

В чем состоит принципиальное различие между физическим и математическим моделированием.  

Этот вывод подтверждается многочисленными опытами, физическим и математическим моделированием контура.  

При разработке новых процессов и аппаратов применяют физическое и математическое моделирование.  

Необходимо иметь в виду, что нельзя противопоставлять физическое и математическое моделирование.  

Научной базой применения концептуальных, конструкторских, технологических и материаловедческих решений для всех этапов создания машин и конструкций должны стать принципы и методы физического и математического моделирования.

Физическое и математическое моделирование в машиностроении базируется на общих подходах, развиваемых на основе фундаментальных наук, прежде всего математики, физики, химии и др. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент становятся новым методом анализа сложных машин, рабочих процессов и системы машина - человек - среда. Физическое и математическое моделирование проводится в несколько стадий.

Начинается моделирование с постановки и уточнения задачи, рассмотрения физических аспектов, определения степени влияния на моделируемые процессы различных факторов в программируемых условиях функционирования моделируемых систем или процесса. На этой основе строится физическая модель. Затем на ее базе строится математическая модель, включающая в себя математическое описание моделируемого процесса или механической системы в соответствии с закономерностями кинематики и динамики, поведения материалов под действием нагрузок и температур и т. д. Модель исследуется по таким направлениям, как соответствие поставленной задаче, существование решения и т. п.

На следующей стадии выбирается вычислительный алгоритм решения задачи моделирования. Современные численные методы позволяют снять ограничения на степень сложности математических моделей.

Далее осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ . При этом создаются проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ, позволяющие на их основе создавать сложные программы для комплексного описания процессов, машин и систем машин.
На следующей стадии выполняются расчеты на ЭВМ по разработанным программам. Существенное значение при этом имеет рациональное представление конечных результатов. Завершающая стадия предусматривает анализ полученных результатов, сопоставление их с данными физических экспериментов на натурных образцах изделий. В случае необходимости ставится задача уточнения выбранной математической модели с последующим повторением указанных выше стадий.

После завершения работ по физическому и математическому моделированию формируются общее заключение и выводы по конструкторским, технологическим и эксплуатационным мероприятиям, связанным с созданием новых материалов и технологий, обеспечением условий надежной и безопасной работы машин, удовлетворением требований эргономики и экологии. Создание новых машин и конструкций с повышенным уровнем рабочих параметров, экологических и эргономических требований представляет собой сложную комплексную проблему, эффективное решение которой базируется на физическом и математическом моделировании. Общая схема использования моделирования на различных этапах создания машин представлена на картинке ниже.

Разработка эскизного проекта предусматривает построение физических моделей на основании опыта создания прототипов. Математические модели включают новые знания об анализе и синтезе структурных и кинематических схем, о динамических характеристиках взаимодействия между основными элементами с учетом рабочих сред и процессов. На этом же этапе формируются и решаются в общем виде вопросы экологии и эргономики.

При разработке технического проекта должен осуществляться переход к физическим моделям основных узлов, испытываемым в лабораторных условиях. К математическому обеспечению технического проекта относятся системы автоматизированного проектирования.
Создание принципиально новых машин (машин будущего) требует совершенствования методов математического моделирования и построения новых моделей. Это в значительной мере относится к уникальным объектам новой техники (атомная и термоядерная энергетика, ракетная, авиационная и криогенная техника) , а также к новым технологическим, транспортным аппаратам и устройствам (лазерные и импульсные технологические установки, системы на магнитной подвеске, глубоководные аппараты, адиабатные двигатели внутреннего сгорания и др.) . При этом для реализации задач математического моделирования необходимы сверхмощные ЭВМ и дорогостоящие программы.
На этапе рабочего проектирования физическое моделирование предполагает создание макетов и испытательных стендов для проверки конструкторских решений. Математическая сторона этого этапа связана с разработкой автоматизированных систем подготовки технической документации. Математические модели уточняют по мере детализации и уточнения граничных условий задач конструирования.

Одновременно с проектированием решаются конструкторско-технологические задачи выбора материалов, назначения технологий изготовления и контроля. В области конструкционного материаловедения используют экспериментальное определение физико-механических свойств на лабораторных образцах как при стандартных испытаниях, так и при испытаниях в условиях, имитирующих эксплуатационные. При изготовлении высокоответственных деталей и узлов из новых материалов (высокопрочные коррозионно- и радиационно стойкие, плакированные, композиционные и др.) необходимо проводить специализированные испытания по определению предельных состояний и критериев повреждения. Математическое моделирование используют для построения имитационных моделей механического поведения материалов в различных условиях нагружения с учетом технологии получения материалов и формообразования деталей машин. Имитационные модели используют при выполнении сложного математического анализа тепловых, диффузионных, электромагнитных и других явлений, сопутствующих новым технологиям.

На основе физических и имитационных моделей получают сложный комплекс физико-механических свойств, характеристики которых должны использоваться при создании на базе ЭВМ банков данных о современных и перспективных материалах.
На этапе разработки технологии изготовления деталей, узлов и машин в целом физическое моделирование используют при лабораторной и опытно-промышленной отработке технологических процессов как традиционных (механообработка, литье и др.) , так и новых (лазерная обработка, плазменная, взрывная, магнитно-импульсная и др.) .

Параллельно с технологическими процессами разрабатываются физические модели, а также принципы контроля и дефектоскопии материалов и готовых изделий. Математические модели технологических процессов позволяют решать сложные задачи теплопроводности, термоупругости, сверхпластичности, волновых и других явлений с целью рационального выбора для данных деталей эффективных методов и параметров обработки.

На этапе создания машин и конструкций , когда осуществляется доводка и испытания головных образцов и опытных партий, физическое моделирование предусматривает проведение стендовых и натурных испытаний. Стендовые испытания обеспечивают высокую информативность и сокращают сроки доводки опытных образцов изделий массового и крупносерийного производства. Натурные испытания* необходимы для оценки работоспособности и надежности уникальных изделий на предельных режимах. При этом задачами математического моделирования становятся алгоритмы и программы управления испытаниями. Анализ получаемой экспериментальной информации следует проводить на ЭВМ в реальном масштабе времени.

При эксплуатации машин физическое моделирование используют для диагностики состояния и обоснования продления ресурса безопасной работы. Математическое моделирование на этом этапе имеет- целью построение моделей эксплуатационных повреждений по комплексу принятых при проектировании критериев: Проработка таких моделей выполняется в настоящее время для объектов атомного и теплового энергетического машиностроения, ракетной и авиационной техники и других объектов.

Математическое моделирование позволяет автоматизировать управление рабочими режимами с помощью ЭВМ по заданным программам, обеспечить оптимальное регулирование переходных процессов и исключить с помощью автоматизированных систем защиты достижение предельных ситуаций, ведущих к аварийным отказам.

ВИДЫ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ

Химический реактор - устройство, предназначенное для про­ведения в нем химических превращений.

Химический реактор - понятие обобщенное, относится к реакто­рам, колоннам, башням, автоклавам, камерам, печам, контактным ап­паратам, полимеризаторам, гидрогенизаторам, окисли­телям и другим аппаратам, названия которых происходят из-за их на­значения или даже внешнего вида. Общий вид реактора и схемы неко­торых из них приведены на рис. 4.1.

Емкостной реактор / оснащен мешалкой, которая перемешивает реагенты (чаще жидкости, суспензии), помещаемые внутрь аппарата. Температурный режим поддерживается с помощью теплоносителя, циркулирующего в рубашке реактора или во встроенном в него тепло­обменнике. После проведения реакции продукты выгружают, и после очистки реактора цикл повторяется. Процесс периодический.

Емкостной реактор 2 является проточным, т.к. реагенты (чаще газ, жидкость, суспензия) непрерывно проходят через него. Газ барботирует через жидкость.

Колонный реактор 3 характеризуется отношением высоты к диаме­тру. которое для промышленных реакторов составляет 4-6 (в емкост­ных реакторах это отношение около 1). Взаимодействие газа и жидко­сти такое же, как в реакторе 2

Насадочный реактор 4оснащен кольцами Рашига или другими не­большими элементами - насадкой. Взаимодействуют газ и жидкость. Жидкость стекает по насадке, а газ движется между элементами на­садки.

Реакторы 5-8 в основном используют дня взаимодействия газа с твердым реагентом.

В реакторе 5твердый реагент неподвижен, газообразный или жид­кий реагент непрерывно проходит через него. Процесс - периодичес­кий по твердому веществу.

Реакторы 6~ 8 модифицированы таким образом, чтобы и по твердо­му реагенту процесс являлся непрерывным. Твердый реагент продви­гается вдоль вращающегося наклонно установленного круглого реак­тора били просыпается через реактор 7. В реакторе 8 газ подастся сни­зу под большим давлением так, что твердые частицы оказываются во взвешенном состоянии, образуя псевдоожиженный, или кипящий, слой, обладающий некоторыми свойствами жидкости.

Трубчатый реактор 9 по виду подобен кожухотрубному теплооб­меннику. Через трубки, в которых протекает реакция, проходят газообразные или жидкие реагенты. Обычно в трубки загружен катализа­тор. Температурный режим обеспечивают циркуляцией теплоносителя в межтрубном пространстве.

Реакторы 5 и 9 используют также для проведения процессов на твердом катализаторе.

Трубчатый реактор 10 часто применяют для осуществления высо­котемпературных гомогенных реакций, в том числе в вязкой жидкос­ти (например, пиролиз тяжелых углеводородов). Нередко такие реак­торы называют печами.

Многослойный реактор 11 оснащен системой, позволяющей ох­лаждать или нагревать реагент, находящийся между несколькими сло­ями твердого вещества, выполняющего роль, например, катализатора. На рисунке показано охлаждение исходного газообразного вещества холодным газом, введенным между верхними слоями катализатора, и теплоносителем через систему теплообменников, помещенных между другими слоями катализатора.

Многослойный реактор 12 предусмотрен для проведения в нем га­зожидкостных процессов.

Приведенные на рис. 4.1 схемы отображают лишь часть примяеых в промышленности реакторов. Однако проведенная далее систе­матизация конструкций реакторов и протекающих процессов, позво­ляет разобраться и провести исследование в любом из них.

Для всех реакторов характерны общие структурные элементы, представленные в реакторе на рис. 4.2, аналогичном 11 -му на рис. 4.1.

Реакционную зону 7, в которой протекает химическая реакция, представляют несколько слоев катализатора. Она есть во всех реакто­рах: в реакторах 1-3 на рис. 4.1 - это слой жидкости, в реакторах 4, 5, 7 - слой насадки или твердого компонента, в реакторах 6, 8 - часть объема реактора с твердым компонентом, в реакторах 9, 10 - внутрен­ний объем трубок, где протекает реакция.

Исходная реакционная смесь подается через верхний штуцер. Что­бы обеспечить равномерно распределенное прохождение газа через реакционную зону, обуславливающее однородный контакт реагентов, установлен распределитель потока. Эго - устройство ввода 2. В реакто­ре 2 на рис. 4.1 распределителем газа является барботер, в реакторе 4 - разбрызгиватель.

Между первым сверху и вторым слоями два потока смешиваются в смесителе 3. Между вторым и третьим слоями помещен теплообмен­ник 4. Эти структурные элементы предназначены для изменения со­става и температуры потока между реакционными зонами. Теплооб­мен с реакционной зоной (отвод теплоты, выделяющейся в результате протекания экзотермических реакций или подогрев реагирующей смеси) осуществляется через поверхность встроенных теплообменни-

ков или через внутреннюю поверхность рубашки реактора (аппарат 1 на рис. 4.1), либо через стенки труб в реакторах Р, 10. Реактор может быть оснащен устройствами разделения потоков.

Продукты выводятся через выходное устройство 5.

В теплообменниках и устройствах ввода, вывода, смешения, разде­ления, распределения потоков протекают физические процессы. Хи­мические реакции осуществляются в основном в реакционных зонах, которые будут дальнейшим объектом исследования. Процесс, проис­ходящий в реакционной зоне, представляет собой совокупность част ­ных этапов, которые схематически показаны на рис. 4.3 для каталити­ческого и газожидкостного взаимодействия.

Рис. 4.3, а представляет схему реакционного процесса с участием катализатора, через неподвижный слой которого проходит общий

(конвективный) поток газообразных реагентов (7). Реагенты диффун­дируют к поверхности зерен (2) и проникают в поры катализатора (3 ), на внутренней поверхности которых протекает реакция (4 ). Образую­щиеся продукты реакции обратным путем отводятся в поток. Выделя­ющаяся в результате химического превращения теплота за счет тепло­проводности переносится по слою (5), а от слоя через стенку - к хла­дагенту (б). Возникающие градиенты концентраций и температуры вызывают дополнительные потоки теплоты и вещества (7) к основно­му конвективному движению реагентов в слое.

На рис. 4.3, б представлен процесс в слое жидкости, через который барботирует газ. Между пузырями (/) газа и жидкостью происходит массообмен реагентами (2 ). Динамика жидкости складывается из дви­жения около пузырей (.?) и циркуляции в масштабе слоя (4). Первое - подобно турбулентной диффузии, второе аналогично циркуляционно­му конвективному движению жидкости через реакционную зону. В жидкости и, в общем случае, в газе протекает химическое превраще­ние (5).

Приведенные примеры показывают сложную структуру процессов, протекающих в реакционной зоне. Если учесть множество схем и кон­струкций существующих реакторов, то разнообразие процессов в них многократно возрастает". Необходим научный метод, позволяющий си­стематизировать это многообразие, найти общность в нем, выработать систему представлений о закономерностях явлений и связей между ними, т.е. создать теорию химических процессов и реакторов. Такой научный метод рассмотрен далее.

4. Использование методов и принципов системного исследования при разработке ХТС

4.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И РЕАКТОРОВ

Модель и моделирование. Моделирование - метод исследова­ния объекта (явления, процесса, устройства) на модели - давно исполь­зуется в различных областях науки и техники с целью исследования са­мого объекта исследованием его модели. Полученные свойства моде­ли переносят на свойства моделируемого объекта.

Модель - специально созданный для изучения объект любой природы, более простой, чем исследуемый, по всем свойствам, кроме тех, которые надо изучить, и способный заменить исследуемый объект так, чтобы по­лучить новую информацию о нем.

Учитываемые в каждой модели явления и параметры называются составляющими модели.

Для изучения разных свойств объекта может быть создано несколь­ко моделей, каждая из которых отвечает определенной цели исследо­вания, однако и одна модель может дать необходимую информацию о нескольких изучаемых параметрах, тогда можно говорить о единстве «цель-модель». Если модель отражает большее (или меньшее) число свойств, то она называется широкой (или узкой). Используемое иногда понятие «общая модель» как отражающая псе свойства объекта - бес­смысленно по сути.

Чтобы достигнуть поставленной цели, изучаемая модель должна быть подвергнута влиянию те же факторов, что и объект. Составляю­щие и параметры процесса, влияющие на изучаемые свойства, назы­ваются существенными составляющими модели. Изменение некоторых параметров может очень слабо влиять на свойства объекта. Такие со­ставляющие и параметры называют несущественными, и их можно не учитывать в построении модели. Соответственно, простая модель со­держит лишь существенные составляющие, иначе модель будет избы­точной, поэтому простая модель не есть простая по внешним призна­кам (например, несложная по структуре или конструкции). Но если в модель входят не все составляющие, существенно влияющие на изуча­емые свойства, то она будет неполной , и результаты ее исследования могут не точно предсказать поведение реального объекта. В этом и за­ключается творчество и научный подход к построению модели - выде­лить именно те явления и учесть именно тс параметры, которые явля­ются существенными для изучаемых свойств.

Кроме предсказания заданных свойств, модель должна давать ин­формацию о неизвестных свойствах объекта. Это может быть достиг­нуто лишь в том случае, если модель является простой и полной, тогда в ней могут проявиться новые свойства.

Физическое и математическое моделирование

Пример физическо­го моделирования - исследование обтекания самолета воздухом на модели в аэродинамической трубе.

В таком методе исследования устанавливается подобие явлений (процессов) в объектах разного масштаба, основанное на количест­венной связи между величинами, характеризующими эти явления. Та­кими величинами являются: геометрические характеристики объекта (форма и размеры); механические, теплофизические и физико-хими­ческие свойства рабочей среды (скорость движения, плотность, тепло­емкость, вязкость, теплопроводность и др.); параметры процесса (гид­равлическое сопротивление, коэффициенты теплопередачи, массооб- мена и др.). Развитая теория подобия устанавливает между ними опре­деленные отношения, называемыми критериями подобия. Обычно их обозначают начальными буквами имен известных ученых и исследо­вателей (например, Re - критерий Рейнольдса, Nu - критерий Нус- сельта, Аг - критерий Архимеда). Для характеристики какою-либо яв­ления (теплоотдачи, массопереноса и т.д.) устанавливаются зависимо­сти между критериями подобия - критериальные уравнения.

Физическое моделирование и теория подобия нашли широкое применение в химической технологии при исследовании тепловых и диффузионных процессов. Критериальные уравнения для расчета некоторых параметров тепло- и массопереноса буду!" использованы далее.

Попытки использования теории подобия для химических процес­сов и реакторов оказались неудачными вследствие ограниченности ее применения. Причины заключаются в следующем. Химическое пре­вращение зависит от явлений переноса теплоты и вещества, так как они создают соответствующие температурные и концентрационные условия в месте проведения реакции. В свою очередь, химическая ре­акция изменяет состав и теплосодержание (и, соответственно, темпе ратуру) реагирующей смеси, что изменяет перенос теплоты и вещест­ва. Таким образом, в реакционном технологическом процессе участву­ют химическая (превращение веществ) и физическая (перенос) его со­ставляющие. В аппарате небольшого размера выделяющаяся теплота реакции легко теряется и слабо влияет на скорость превращения, по­этому основной вклад в результаты процесса вносит химическая со­ставляющая. В аппарате же большого размера выделяющаяся теплота «запирается» в реакторе, существенно изменяя поле температур и, сле­довательно, скорость и результат протекания реакции. Следовательно

химические и физические составляющие реакционного процесса к це­лом зависят от масштаба.

Другой причиной является несовместимость условий подобия дня химических и физических составляющих процесса в реакторах разно­го масштаба. Например, превращение реагентов зависит от времени пребывания их в реакторе, равного отношению размера аппарата к скорости потока. Условия тепло- и массопсреноса, как следует из тео­рии подобия, зависят от критерия Рейнольдса, пропорционального произведению размера аппарата на скорость потока. Сделать одинако­выми в аппаратах разною масштаба и отношение, и произведение двух величин (в данном примере размера и скорости) невозможно.

Трудности масштабного перехода объекта к модели для реакцион­ных процессов удается преодолеть, используя математическое модели­рование, в котором модель и объект имеют разную физическую природу, но одинаковые свойства. Например, механический маятник и замкну­тый электрический контур, состоящий из конденсатора и катушки ин­дуктивности, имеют разную физическую природу, но одинаковое свойство: колебание (механическое и электрическое соответственно).

Свойства этих устройств описываются одним и тем же уравнением колебания:

.

Отсюда и название вида моделирования - математическое. Пара метры устройств (l M /g - для маятника и LC - для электрического кон­тура), можно подобрать таким образом, чтобы колебания по частоте были одинаковыми. Тогда электрический колебательный контур будет моделью маятника. Также можно исследовать решение приведенного уравнения и предсказать свойства маятника. Соответственно, матема­тические модели подразделяются на реальные , представленные неким физическим устройством, и знаковые, представленные математичес­кими уравнениями. Классификация моделей представлена на рис. 4.4.

Для построения реальной математической модели необходимо сна­чала создать знаковую, и обычно математическую модель отождеств­ляют с уравнениями, описывающими объект. Универсальной реаль­ной математической моделью является электронная вычислительная

машина (ЭВМ). По уравнениям, описывающим объект, ЭВМ «настра­ивают» (программируют), и ее «поведение» будет описываться этими уравнениями. Далее именно знаковую математическую модель будем называть математической моделью процесса.

О подобии математических моделей разных процессов. Как уже было показано, процессы движения механического маятника и изменения силы тока в электрическом контуре могут быть представлены одина­ковыми математическими моделями, т.е. описываться одним и тем же дифференциальным уравнением второго порядка. Решение этого уравнения есть функция х(/), которая указывает на колебательный вид движения этих разных по природе объектах. Из решения уравнения также можно определить изменение во времени положения маятника относительно вертикальной оси или изменение во времени направле­ния тока и его величины. Это - интерпретация свойств математичес­кой модели на показатели изучаемых объектов. 13 этом проявляется весьма полезная особенность математического моделирования. По­добными математическими моделями могут быть описаны разные процессы. Такая «универсальность» математической модели проявля­ется в исследовании, например, процессов в емкостном J и трубчатом 9 реакторах на рис. 4.1 (см. разд. 4.1), изучении взаимодействия газо­образного реагента с твердой частицей и гетерогенно -каталитического процесса (разд. 4.5.2 и 4.5.3), рассмотрении критических явлений на единичном зерне катализатора и в объеме реактора

Математическое моделирование химических происссов и реакторов . В

обшем виде математическое моделирование реакторов можно предста­вить в виде схемы, изображенной на рис. 4.5. Поскольку в различных по масштабу реакционных процессах влияние физических и химичес­ких составляющих (явлений) на реакционный процесс различное, выявление этих явлений и их взаимодействие - анализ - наиболее су­щественный момент в математическом моделировании химических процессов и реакторов. Следующим этапом является определение тер­модинамических и кинетических закономерностей для химических превращений (химические явления), параметров явлений переноса (физические явления) и их взаимодействие. Для этого используют данные экспериментальных исследовании, математическое моделирова­ние не исключает эксперимент, а активно его использует, но экспери­мент прецизионный, направленный на исследование закономерностей отдельных составляющих процесса. Результаты анализа процесса и ис­следования его составляющих позволяют построить математическую модель процесса (этап синтез па рис. 4.5) - уравнения, описывающие его. Модель создается на основе фундаментальных законов природы, например, сохранения массы и энергии, полученных сведений об от­дельных явлениях и установленных взаимодействиях между ними. Ис­следование модели направлено па изучение ее свойств, при этом исполь­зуется математический аппарат качественного анализа и вычислитель­ные методы, или, как говорят, проводится вычислительный экспери­мент. Полученные свойства модели далее следует интерпретировать как свойства изучаемого объекта, которым в данном случае является химический реактор. Например, математическую зависимость у(т) не­обходимо представить в виде изменения концентрации веществ по длине реактора или во времени, а несколько корней уравнения интер­претировать как неоднозначность режимов и т.д.

Тем нс менее, даже приблизительная схема процесса в слое катали­затора (рис. 4.3) включает довольно много составляющих, соответст­венно модель процесса будет довольно сложная, и сс анализ неоправ­данно усложнен. Для сложного объекта (процесса) используется спе­циальный подход к построению модели, заключающийся в его разде­лении на ряд более простых операций, различающихся масштабом. Например, в каталитическом процессе выделяются: реакция на по­верхности зерна, процесс на одиночном зерне катализатора и процесс в слое катализатора.

Каталитическая реакция - сложный многостадийный процесс, протекающий в масштабе размера молекул. Скорость реакции опреде­ляется условиями ее протекания (концентрация и температура) и не зависит от того, где такие условия созданы: в реакторе малого или большого размера, - т.е. не зависит от масштаба всего процесса. Изу

чение сложного механизма реакции позволяет построить ее кинетиче ­скую модель - уравнение зависимости скорости реакции от условий ее протекания. Понятно, что эта модель будет значительно проще, чем система уравнений всех стадий реакции, и ее исследование будет ин­формативным.

Процесс на отдельном зерне катализатора, размером несколько миллиметров, включает реакцию, представленную сс кинетической моделью, и перенос вещества и теплоты в порах зерна и между его на­ружной поверхностью и обтекающим потоком. Превращение на зерне определяется условиями протекания процесса - составом, температу­рой и скоростью обтекающего потока и не зависит от того, где созда­ны такие условия - в реакторе малого или большого размера, т.е. не за­висит от масштаба всего процесса. Анализ полученной модели позво­ляет получить свойства процесса, например, скорости превращения в виде зависимости только от условий его протекания - наблюдаемую скорость превращения.

Процесс в слое катализатора включает процесс на зерне, для кото­рого закономерности уже выявлены, и перенос теплоты и вещества в масштабе слоя.

Выделение в сложном процессе простых этапов, различающихся масштабом протекания, позволяет построить иерархическую систему моделей , каждая из которых имеет свой масштаб и, главное, свойства такой системы не зависят от масштаба всего процесса (инвариантны к масштабу).

В общем виде модель реакционного процесса, построенную по ие­рархическому принципу можно представить схемой (рис. 4.6).

Химическая реакция, состоящая из элементарных стадий, протекает в молекулярном масштабе. Ее свойства (например, скорость) не зави ­сят от масштаба реактора, т.е. скорость реакции зависит только от ус­ловий ее протекания независимо от того, как или где они созданы. Ре­зультатом исследования на этом уровне является кинетическая модель химической реакции - зависимость скорости реакции от условий. Следующий масштабный уровень - химический процесс - совокуп­ность химической реакции и явлений переноса, таких как: диффузия и теплопроводность. На этой стадии кинетическая модель реакции яв­ляется одной из составляющих процесса, причем объем, в котором рассматривается химический процесс, выбирается с такими условия­ми, чтобы закономерности его протекания не зависели от размера ре­актора. Например, это может быть рассмотренное выше зерно катали­затора. Далее полученная модель химического процесса как одна из составляющих элементов, в свою очередь, входит в следующий мас­штабный уровень - реакционную зону, в которую также входят и струк­турные закономерности потока, и явления переноса в сс масштабе. И,

наконец, в масштабе реактора в составляющие процесса входят реак­ционная зона, узлы смешения, теплообмена и др. Таким образом, ма­тематическая модель процесса в реакторе представлена системой ма­тематических моделей разного масштаба.

Иерархическая структура математической модели процесса в реак­торе позволяет:

7) полностью описывать свойства процесса путем детального иссле­дования его основных этапов разного масштаба;

8) проводить изучение сложного процесса по частям, применяя к каждой из них специфические, прецизионные методы исследова­ния, что повышает точность и надежность результатов;

9) устанавливать связи между отдельными частями и выяснять их роль в работе реактора в целом;

10) облегчить изучение процесса на более высоких уровнях;

11) решать задачи масштабного перехода.

При дальнейшем изложении материала, изучение процесса в хими­ческом реакторе будет проводиться с помощью математического мо­делирования.

Похожая информация.

Современный этап развития науки характеризуется усилением и углублением взаимодействия отдельных её отраслей, формированием новых форм и средств исследования, в т.ч. математизацией и компьютеризацией познавательного процесса. Распространение понятий и принципов математики в различные сферы научного познания оказывает существенное влияние, как на эффективность специальных исследований, так и на развитие самой математики.

В процессе математизации естественных, общественных, технических наук и её углубления происходит взаимодействие между методами математики и методами тех отраслей наук, которые подвергаются математизации, усиливается взаимодействие и взаимосвязь между математикой и конкретными науками, формируются новые интегративные направления в науке.

Говоря о применении математики в той или иной сфере науки, следует иметь в виду, что процесс математизации знания будет идти скорее тогда, когда объект исследования состоит из простых и однородных элементов. Если объект обладает сложной структурной, то применение математики затрудняется.

В процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания. Современная математика объединяет весьма различные области знания в единую систему. Этот процесс синтеза наук, осуществляемый на фоне математизации, находит свое отражение и в динамике понятийного аппарата.

Воздействие научно-технической революции на прогресс математики чаще всего происходит опосредствованными и сложным путем. Обычно запросы техники, производства и экономики выдвигают различные проблемы перед наукам, которые стоят ближе к практике. Решая свои проблемы, естественные и технические науки ставят соответствующие задачи перед математикой, стимулируя ее дальнейшее развитие.

Говоря о современном этапе математизации научного познания, следует отметить повышение эвристической и интегративной роли математики в познании, а также влияние научно-технической революции на развитие современной математики, ее понятий и методов.

В процессе взаимодействия современных наук единство абстрактного и конкретного проявляется как в синтезе математических теорий в структурах научного знания, так и в синтезе самих математических теорий.

Развитие техники, производственной деятельности людей выдвигает исследование новых, неизвестных ранее процессов и явлений природы, которое зачастую немыслимо без совместных усилий различных отраслей науки. Если отдельно области современного научного знания не способны изучить эти процессы природы в отдельности, то эту задачу можно осуществить на основе интеграции наук, изучающих различные формы движения материи. Благодаря трудам ученых, работающих в различных областях науки, комплексные проблемы находят свое объяснение. В свою очередь, это области науки обогащаются новым содержанием, выдвигаются новые научные проблемы. В таком процессе взаимосвязи и взаимовлияния научных областей обогащается и математическое знание, начинают осваиваться новые количественные отношения, закономерности.

Синтетический характер математики состоит в том, что она обладает предметной общностью, т.е. абстрагируясь от количественных свойств социальных, природных и технических объектов, изучает специфические закономерности, присущие этим областям.

Другим важнейшим качеством математики является ее эффективность, которая достигается на основе восхождения к абстракциям высокого уровня. Сущность математики определяется соотношением чистой и прикладной математики. Прикладная математика ориентирована на решение различных конкретных проблем реального мира. Тем самым, в математическом творчестве различают три этапа: во-первых, движение от реальной действительности к абстрактным структурам, во-вторых, создание абстрактных понятий и математических теорий, в-третьих, непосредственное применение математики.

Современный этап математизации науки характеризуется широким использованием метода математического моделирования. Математика разрабатывает модели и совершенствует методы их применения. Создание математических моделей – первый шаг в математико-исследовательском направлении. В последующем модель изучается посредством особых математических методов.

Математика имеет множество конкретных методов. Универсальность математики связана с двумя моментами. Во-первых, единством языка математических моделей, вытекающих их качественно различных задач (единство языка составляет внешнее единство математики), во-вторых, наличием общих понятий, принципов и методов, применяемых к бесчисленным конкретным математическим моделям.

В XVII-XIX веках благодаря применению математических понятий в физике были получены первые результаты в области гидродинамики, разработаны теории, связанные с распространением теплоты, явлениями магнетизма, электростатики и электродинамики. А. Пуанкаре создал теорию диффузии на основе теории вероятности, Дж.Масквелл – электромагнитную теорию на основе дифференциального исчисления, идея случайного процесса сыграла существенную роль в изучении биологами динамики популяции и разработке основ математической экологии.

Современная физика является одной из наиболее математизированных областей естествознания. Движение математической формализации к физическим теориям является одним из важнейших признаков развития физического познания. Это можно видеть в закономерностях процесса познания, в создании теории относительности, квантовой механики, квантовой электромеханики, в развитии современной теории элементарных частиц.

Говоря о синтезе научного знания, необходимо отметить и роль математической логики в процессе создания понятий нового типа. Математическая логика по своему предмету является логикой, а по своему методу – математикой. Она оказывает существенное влияние как на создание и развитие обобщающих идей, понятий, так и на развитие познавательных функций других наук. Математическая логика сыграла важнейшую роль в создании алгоритмов и рекурсивных функций. Наряду с этим, трудно без математической логики представить себе создание и развитие электроники, кибернетики, структурного языкознания.

Математическая логика сыграла важнейшую роль в процессе возникновения таких общенаучных понятий, как алгоритм, информация, обратная связь, система, множество, функция и др.

Математизация науки есть в сущности двуединый процесс, включающий рост и развитие как конкретных наук, так и самой математики. При этом взаимодействие между конкретными науками и математикой носит диалектической характер. С одной стороны, решение проблем конкретных наук выдвигает множество задач, имеющих чисто математический характер, с другой стороны, математический аппарат дает возможность точнее сформулировать законы и теории конкретных наук.

Другая причина математизации современной науки связана с решением крупных научно-технических проблем. Это, в свою очередь, требует применения современной вычислительной техники, что нельзя представить без математического обеспечения. Можно отметить, что на стыке математики и других конкретных наук возникли дисциплины «пограничного» характера, такие как математическая психология, математическая социология и т.д. В методах исследования синтетических наук, таких как кибернетика, информатика, бионика и др. математика выполняет определяющую роль.

Возрастание взаимосвязи естественных, общественных и технических наук и процесс их математизации представляет собой ту основу, на которой формируются и приобретают общенаучный статус такие понятия, как функция, система, структура, модель, элемент, множество, вероятность, оптимальность, дифференциал, интеграл и др.

Моделирование – метод научного познания, основанный на изучении реальных объектов посредством изучения моделей этих объектов, т.е. посредством изучения более доступных для исследования и (или) вмешательства объектов-заместителей естественного или искусственного происхождения, обладающих свойствами реальных объектов (аналоги объектов, подобные реальным в структурном или функциональном плане).

При мысленном (образном) моделировании свойства реального объекта изучаются через мысленно-наглядные представления о нем (с этого варианта моделирования начинается, вероятно, любое первое изучение интересующего объекта).

При физическом (предметном) моделировании модель воспроизводит определенные геометрические, физические, функциональные свойства реального объекта, при этом являясь более доступной или удобной для исследования благодаря отличию от реального объекта в некотором не существенном для данного исследования плане (например, устойчивость небоскреба или моста, в некотором приближении, можно изучать на сильно уменьшенной физической модели – рискованно, дорого и вовсе не обязательно «крушить» реальные объекты).

При знаковом моделировании модель, являющаяся схемой, графиком, математической формулой, воспроизводит поведение определенной интересующей характеристики реального объекта благодаря тому, что существует и известна математическая зависимость этой характеристики от прочих параметров системы (построить приемлемые физические модели изменяющегося земного климата или электрона, излучающего электромагнитную волну при межуровневом переходе – задача безнадежная; да и устойчивость небоскреба, вероятно, неплохо заранее просчитать поточнее).

По степени адекватности модели прототипу их принято подразделять на эвристические (приблизительно соответствующие прототипу по изучаемому поведению в целом, но не позволяющие дать ответ на вопрос, насколько интенсивно должен происходить тот или иной процесс в реальности), качественные (отражающие принципиальные свойства реального объекта и качественно соответствующие ему по характеру поведения) и количественные (достаточно точно соответствующие реальному объекту, так что численные значения исследуемых параметров, являющиеся результатом исследования модели, близки к значениям тех же параметров в реальности).

Свойства любой модели не должны, да и не могут, точно и полностью соответствовать абсолютно всем свойствам соответствующего реального объекта в любых ситуациях. В математических моделях любой дополнительный параметр может привести к существенному усложнению решения соответствующей системы уравнений, при численном моделировании непропорционально вырастает время обработки задачи компьютером, нарастает ошибка счета. Таким образом, при моделировании является существенным вопрос об оптимальной, для данного конкретного исследования, степени соответствия модели оригиналу по вариантам поведения исследуемой системы, по связям с другими объектами и по внутренним связям исследуемой системы; в зависимости от вопроса, на который хочет ответить исследователь, одна и та же модель одного и того же реального объекта может быть признана адекватной или абсолютно не отражающей реальность.

“Модель - это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе ”. Модели классифицируют исходя из наиболее существенных признаков объектов. Понятие “модель” возникло в процессе опытного изучения мира. Первыми, кто применил модели на практике, были строители.

Способы создания моделей различны : физический, математический, физико-математический.

Физическое моделирование характеризуется тем, что исследования проводятся на установках, обладающих физическим подобием, т. е. сохраняющих полностью или хотя бы в основном природу явлений.

Более широкими возможностями обладает математическое моделирование . Это способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими моделями. Математическое моделирование имеет огромное преимущество перед физическим, поскольку нет необходимости сохранять размеры модели. Это дает существенный выигрыш во времени и стоимости исследования.

Моделирование широко применяется в технике. Это и исследование гидроэнергетических объектов и космических ракет, специальные модели для наладки приборов управления и тренировки персонала, управляющего различными сложными объектами. Многообразно применение моделирования в военной технике. В последнее время особое значение пробрело моделирование биологических и физиологических процессов.

Общеизвестна роль моделирования общественно-исторических процессов. Применение моделей позволяет проводить контролируемые эксперименты в ситуациях, где экспериментирование на реальных объектах является практически невозможным или по каким-то причинам (экономическим, нравственным и т. д.) нецелесообразным.

Большое значение на современном этапе развития науки и техники приобретают задачи предсказания, управления, распознавания. Метод эволюционного моделирования возник при попытке воспроизведения на ЭВМ поведения человека. Эволюционное моделирование было предложено как альтернатива эвристическому и бионическому подходу, моделировавшему мозг человека в нейронных структурах и сетях. При этом основная идея звучала так: заменить процесс моделирования интеллекта моделированием процесса его эволюции.

Таким образом, моделирование превращается в один из универсальных методов познания в сочетании с ЭВМ. Особо хочется подчеркнуть роль моделирования - бесконечную последовательность уточненных представлений о природе.

В общем случае процесс моделирования состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала в натуре.

3. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.

4. Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.

5. Перенос результатов исследования модели на оригинал.

6. Проверка этих результатов.

Основными задачами являются: во-первых, выбор моделей и, во-вторых, перенос результатов исследования моделей на оригинал.

Физическое и математическое моделирование

Так как понятие «моделирование» является достаточно общим и универсальным, к числу способов моделирования относятся столь различные подходы как, например, метод мембранной аналогии (физическое моделирование) и методы линейного программирования (оптимизационное математическое моделирование). Для того чтобы упорядочить употребление термина «моделирование» вводят классификацию различных способов моделирования. В наиболее общей форме выделяются две группы различных подходов к моделированию, определяемых понятиями «физическое моделирование» и «идеальное моделирование».

Физическое моделирование осуществляется путем воспроизведения исследуемого процесса на модели, имеющей в общем случае отличную от оригинала природу, но одинаковое математическое описание процесса функционирования.

Совокупность подходов к исследованию сложных систем, определяемая термином «математическое моделирование », является одной из разновидностей идеального моделирования. Математическое моделирование основано на использовании для исследования системы совокупности математических соотношений (формул, уравнений, операторов и т.д.), определяющих структуру исследуемой системы и ее поведение.

Математическая модель - это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.), отражающих важнейшие для исследователя свойства технического объекта, процесса или системы.

Математическое моделирование - это процесс создания математической модели и оперирования ею с целью получения новой информации об объекте исследования.

Построение математической модели реальной системы, процесса или явления предполагает решение двух классов задач, связанных с построением «внешнего» и «внутреннего» описания системы. Этап, связанный с построением внешнего описания системы называется макроподходом. Этап, связанный с построением внутреннего описания системы называется микроподходом.

Макроподход - способ, посредством которого производится внешнее описание системы. На этапе построения внешнего описания делается упор на совместное поведение всех элементов системы, точно указывается, как система откликается на каждое из возможных внешних (входных) воздействий . Система рассматривается как «черный ящик», внутреннее строение которого неизвестно. В процессе построения внешнего описания исследователь имеет возможность, воздействуя различным образом на вход системы, анализировать ее реакцию на соответствующие входные воздействия. При этом степень разнообразия входных воздействий принципиальным образом связана с разнообразием состояний выходов системы. Если на каждую новую комбинацию входных воздействий система реагирует непредсказуемым образом, испытание необходимо продолжать. Если на основании полученной информации может быть построена система, в точности повторяющая поведение исследуемой, задачу макроподхода можно считать решенной.

Итак, метод «черного ящика» состоит в том, чтобы выявить, насколько это возможно, структуру системы и принципы ее функционирования, наблюдая только входы и выходы. Подобный способ описания системы некоторым образом аналогичен табличному заданию функции.

При микроподходе структура системы предполагается известной, то есть предполагается известным внутренний механизм преобразования входных сигналов в выходные. Исследование сводится к рассмотрению отдельных элементов системы. Выбор этих элементов неоднозначен и определяется задачами исследования и характером исследуемой системы. При использовании микроподхода изучается структура каждого из выделенных элементов, их функции, совокупность и диапазон возможных изменений параметров.

Микроподход - способ, посредством которого производится внутреннее описание системы, то есть описание системы в функциональной форме.

Результатом этого этапа исследования должен явиться вывод зависимостей, определяющих связь между множествами входных параметров, параметров состояния и выходных параметров системы. Переход от внешнего описания системы к ее внутреннему описанию называют задачей реализации.