Аксиоматический метод построения. Аксиоматический метод: описание, этапы становления и примеры

(греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются...

(греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные (“принципы”) и требующие доказательства (“доказываемые”). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат “Начала” Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие “аксиома”. Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как “полуаксиоматический”) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики “во всех мирах”; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

В.Л. Абушенко

Аксиоматический Метод

Один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без...

Один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. 20 в - как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др, включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)

Аксиоматический Метод

Способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты,...

Способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.

Аксиоматический Метод

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные...

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. – особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др. А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря “Началам” Евклида, появившимся около 330 – 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его “аксиомах и постулатах” все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. “Скрытые” допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.

A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Гёделя теорема).

Аксиоматический метод представляет собой один из довольно распространенных способов организации научного знания. Особенно широко применяется он в математике и математизированных науках.

Под аксиоматическим методом понимается такой метод, когда ряд утверждений принимается без доказательства, а все остальные знания выводятся из них по определенным логическим правилам. Принимаемые без доказательства положения называются аксиомами, а выводное знание фиксируется в виде теории, законов и т.д.

Аксиома (греч. axioma -- отправное, исходное положение) - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной утвержденности, исходное положение теории .

Аксиоматический метод широко применялся еще в глубокой древности. Элементы аксиоматики встречались в трудах Платона, Аристотеля, Гиппократа. По мере развития науки этот метод проник в самые разные области знания. Примерами аксиоматически построенных систем знания могут служить и теория электромагнитного поля Д.К. Максвелла, и эйнштейновская теория относительности, и целый ряд других научных теорий.

К аксиоматически построенной системе знания предъявляется ряд требований, важнейшими из которых являются:

 требование непротиворечивости, согласно которому в системе аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо положение и его отрицание;

 требование полноты, согласно которому любое положение, которое можно сформулировать в данной системе аксиом, можно в ней доказать или опровергнуть, т.е., иначе говоря, из аксиом должно быть выводимо или это предположение, или его отрицание;

 требование независимости, согласно которому любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом (иначе она переводится в разряд теорем).

Большой интерес представляет вопрос об истинности аксиоматических теорий. Необходимым условием их истинности является внутренняя противоречивость. Однако она свидетельствует с достоверностью лишь о том, что теория построена правильно.

Аксиоматически построенная теория может быть признана действительно истинной лишь в том случае, когда истинны как ее аксиомы, так и правила, по которым получены все остальные утверждения теории. Только в этом случае такая теория может верно отражать действительность. Основные достоинства аксиоматического метода:

 аксиоматизация науки требует, во-первых, точного определения используемых понятий и, во-вторых, строгости рассуждений. Обычно в эмпирическом знании то и другое не всегда находится на должной высоте, применение аксиоматического метода требует дальнейшего развития, в первую очередь в этом отношении;

 аксиоматизация упорядочивает знания, исключает из них ненужные элементы, облегчает процесс построения всей системы знания, устраняет двусмысленности и противоречия. Она всесторонне рационализирует организацию научного исследования.

Сфера применения аксиоматического метода расширяется, но остается пока весьма ограниченной. В нематематических науках этот метод играет подсобную роль, и прогресс в его применении здесь существенно зависит от уровня математизации соответствующей области исследования.

Подчеркивая это, В.Н. Садовский писал: "Вопрос о применимости аксиоматического метода в нематематических науках тесно связан с вопросом о возможности использования в этих дисциплинах математических методов вообще. Если в какой-либо дисциплине начинают широко использоваться математические методы, то совершенно неизбежно наступает момент в развитии этой дисциплины, когда актуальной становится проблема * аксиоматизации" (цит. по ).

Одной из характерных особенностей современной науки является все возрастающее применение в научном познании различных методов теоретического исследования. Одним из таких методов, имеющих существенное значение в познавательной деятельности ученых, является формализация.

Формализация (от лат. /огтп1и - относящееся к форме) - метод, с помощью которого мы отвлекаемся от конкретного содержания рассматриваемых явлений и объединяем их на основе сходства формы. При этом предметом дальнейшего исследования становится уже не содержание, а именно форма, выраженная с помощью знаково-символических систем (знаковых моделей), главным образом логико-математических.

Например: S есть Р; некоторые S не есть Р; с = а +в; ~~ Д = 180.

Первые попытки формализации знаний появляются с возникновением математики и формальной логики. Современный этап в развитии формализации связан с применением идей и методов математической логики в различных областях знания. Такое применение позволяет представить эти области знания в виде формальных систем, где вместо естественного языка используется язык символов.

Выразить ту или иную теорию в виде формальной системы можно только на основе глубокого анализа содержания этой теории. Только содержательный анализ позволяет применить к данной области знания те или иные логические формализации.

Было бы неверно думать, что формализация связана только с математикой, математической логикой и кибернетикой. Она пронизывает все формы практической и теоретической деятельности человека, отличаясь лишь характером и уровнем.

Исторически формализация возникла вместе с возникновением труда, мышления и языка. Определенные приемы трудовой деятельности, умения, способы осуществления трудовых операций мысленно выделялись, обобщались, фиксировались и передавались от поколения к поколению. Обычный, естественный язык выражает самый слабый уровень формализации. Крайним полюсом формализации является искусственный язык математики и математической логики с помощью которого, отвлекаясь от содержания, изучают форму рассуждений. Следует заметить, что элементы формализации применяются практически во всех областях познания: любой чертеж, график, схема, диаграмма, формула есть результат формализации некоторых явлений реальной действительности.

Главное в процессе формализации состоит в том, что над формулами искусственных языков можно производить операции, получать из них новые формулы и соотношения. Тем самым операции с мыслями о предметах заменяются действиями со знаками и символами. Формализация в этом смысле представляет собой логический метод уточнения содержания мысли посредством уточнения ее логической формы. Но она не имеет ничего общего с абсолютизацией логической формы по отношению к содержанию.

Таким образом, процесс формализации рассуждений, мыслей стоит в следующем:

Происходит мысленное отвлечение от качественных характеристик изучаемых предметов;

Выявляется логическая форма суждений, в которых зафиксированы схожие утверждения относительно этих предметов;

Само рассуждение из плоскости рассмотрения связи предметов в мысли переводится в плоскость действий с суждениями на основе схожих между ними формальных отношений. Затем логические формы выражаются с помощью той или иной символики.

Символические языки математики, логики, химии и других точных наук преследуют не только цель сокращения записи - это можно сделать и с помощью стенографии. Язык формул искусственного языка становится инструментом познания. Он играет такую же роль в теоретическом познании, как микроскоп и телескоп в эмпирическом исследовании. Именно использование специальной символики позволяет устранить многозначность слов обычного языка. В формализованных рассуждениях каждый символ строго однозначен. В свою очередь, символы позволяют кратко и экономно записывать выражения, которые в обычных языках оказываются громоздкими и потому труднопонимаемыми. Применение символики облегчает выведение логических следствий из данных посылок, проверку истинности гипотез, обоснование суждений науки и т. д. Методы формализации совершенно необходимы при разработке таких научно-технических проблем и направлений, как компьютерный перевод, проблематика теории информации, создание различного рода автоматических устройств для управления производственными процессами и трудовыми коллективами.

Формализация приобретает особую роль при анализе доказательства. Осуществление доказательства с помощью формул придает ему необходимую строгость и точность.

Имея огромное значение в научном исследовании, формализация внутренне ограничена в своих возможностях. Доказано, что не существует всеобщего метода, позволяющего любое рассуждение заменить вычислением. С помощью формализации текущий фрагмент бытия берется односторонне, лишь в относительно устойчивом состоянии. Любой самый богатый по своим возможностям искусственный язык (знаковая модель) не способен отобразить противоречивую и глубокую сущность явлений реальной действительности и быть во всех отношениях адекватным заменителем естественного языка. В этой связи Л. де Бройль вполне обоснованно подчеркивал: "Лишь обычный язык, поскольку он более гибок, более богат оттенками и более емок, при всей своей относительной неточности по сравнению со строгим символическим языком позволяет формулировать истинно новые идеи и оправдывать их введение путем наводящих соображений или аналогий. Итак, даже в наиболее точных, наиболее разработанных областях науки применение обычного языка остается наиболее ценным из вспомогательных средств выражения мысли" .

Из сказанного следует, что формализация есть обобщение форм различных по содержанию процессов, абстрагирование этих форм от их содержания. Она уточняет содержание путем выявления его формы и может осуществляться с разной степенью полноты.

Помимо формализации характерной чертой современной науки является оперирование идеализированными объектами, которые формируются с помощью идеализации.

Идеализация (от фр. ideal - совершенство) - это метод научного исследования, с помощью которого мысленно конструируются понятия о несуществующих объектах, но имеющих прообразы в реальном мире. Этот метод часто рассматривают как специфический вид абстрагирования, тесно связанный с методом моделирования.

Сущность рассматриваемого метода состоит в том, что в процессе идеализации происходит предельное отвлечение от всех реальных свойств предмета с одновременным введением в содержание образуемых понятий несуществующих признаков. В результате этого процесса образуется так называемый идеализированный объект, которым оперирует теоретическое мышление при изучении реальных объектов.

В результате процесса идеализации образуется теоретическая модель, в которой характеристики и стороны познаваемого объекта не только отвлечены от фактического эмпирического материала, но путем мысленного конструирования выступают в более полно выраженном виде, чем в самой действительности. К таким понятиям можно отнести идеальные объекты, например, точку, прямую линию, абсолютно черное тело, идеальный газ, абсолютно твердое тело. В реальном мире невозможно найти объект, представляющий собой точку, т. е. такой, который не имел бы измерений: ширины, высоты, длины. Создавая такой идеальный объект как абсолютно твердое тело, мы абстрагируемся от способности реальных тел деформироваться под воздействием внешних сил. Говоря об абсолютно черном теле, мы абстрагируемся от того факта, что все реальные тела в той или иной степени способны отражать падающий на них свет. Образовав с помощью идеализации подобные идеальные объекты, теоретические конструкты, в дальнейшем с ними можно оперировать как с реально существующей вещью и строить абстрактные схемы, теории реальных процессов, которые служат для более глубокого их понимания.

При построении той или иной теории очень важным является умение определить правильный аспект идеализации исследуемого объекта. Если, например, в квантовой теории можно пренебречь структурой элементарных частиц и рассматривать их как математические точки, то в теории элементарных частиц такая идеализация (точечная модель взаимодействий) уже не может играть существенной эвристической роли. Причем теоретические утверждения, как правило, непосредственно относятся не к реальным объектам, а к идеализированным, познавательная деятельность с которыми позволяет устанавливать существенные связи и закономерности, недоступные при изучении реальных объектов, взятых во всем многообразии их эмпирических свойств и отношений. Идеализированные объекты - результат различных мыслительных экспериментов, направленных на реализацию некоторого не реализуемого в действительности случая. В развитых научных теориях обычно рассматриваются не отдельные идеализированные объекты и их свойства, а целостные системы идеализированных объектов и их структур.

Идеализация как метод познания играет важную роль в научном исследовании. Это выражается в том, что, во-первых, полученные в результате сложной мыслительной деятельности идеальные объекты позволяют значительно упростить сложные системы, благодаря чему возникает возможность применить к ним математические методы исследования, производить вычисления с любой наперед заданной точностью. С помощью идеализации исключаются те свойства и отношения объектов, которые затемняют сущность изучаемого процесса. Сложный процесс представляется как бы в чистом виде, что значительно облегчает обнаружение существенных связей и отношений, формулирование законов.

Во-вторых, использование идеальных объектов позволяет переходить от эмпирических законов к их строгой формулировке на языке математики, значительно облегчает дедуктивное построение целых областей знания. Более того - наука знает немало примеров, когда использование идеальных объектов приводило к выдающимся открытиям, например, мысленный эксперимент Галилея привел к открытию принципа инерции. Указывая на важную роль идеализации в научном исследовании, А. Эйнштейн и Л. Инфельд отмечали, что "закон инерции нельзя вывести непосредственно из эксперимента, его можно вывести лишь умозрительно - мышлением, связанным с наблюдением. Этот идеализированный эксперимент никогда нельзя выполнить в действитель. ности, хотя он ведет к глубокому пониманию действительных экспериментов" .

Таким образом, идеализированные объекты не являются чистыми фикциями, не имеющими отношения к реальной действительности, представляют собой результат весьма сложного и опосредованного ее отражения. Идеальный объект представляет в познании реальньные предметы, но не по всем, а лишь по некоторым жестко фиксированным признакам. Он представляет собой упрощенный и схематизированный образ реального предмета, что и позволяет познавать его более глубоко и эффективно.

Аксиоматический метод (аксиома от греч. axi orna - удостоенное принятое положение) - это метод построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств. Построение теории на основе аксиоматического метод; обычно называют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории вводятся посредством определений, на основе ранее введенных понятий В той или иной степени дедуктивные доказательства, характерны для аксиоматического метода, применяются во многих науках, однако главная область применения этого метода - математика, логика и некоторые разделы физики.

В развитии аксиоматического метода выделяют три этапа и соответственно три его уровня: содержательный, формальный, формализованный. Исторически первым этапом была содержательная аксиоматика, примененная в силлогистике Аристотеля и "Началах" Евклида.

Переход от содержательного рассмотрения аксиоматических теорий к формальной аксиоматике происходит во второй половине XIX - начале ХХ в. Если при содержательной аксиоматике аксиомы и выводимые из них положения относятся к определенной предметной области (области изучаемых объектов) и могут расцениваться как истинные или ложные, то при формальной аксиоматике уже абстрагируются от предметной области и от конкретного содержания терминов. Если в первый период употреблялись очевидные и интуитивно ясные понятия, то в формальной аксиоматике возникло требование строго определить правила получения терминов, употребляемых в данной научной системе, и перечислить все ее исходные положения (аксиомы). Полученная таким образом формальная теория описывала не какую-то конкретную предметную область, а являлась теорией любой системы объектов, удовлетворяющей требованиям этой теории .

Третий период в развитии аксиоматического метода начинается с первой половины ХХ в. и продолжается до настоящего времени. Это формализованная аксиоматика, с помощью которой исследуемая теория превращается в формальное исчисление. Аксиоматически построенными системами являются также теория электромагнитного поля Д. Максвелла, теория относительности А. Эйнштейна.

Для теорий, построенных с помощью аксиоматического метода, характерны строгая символизация и формализация. Для построения формализованного искусственного языка подобных теорий в качестве логического языка применяется определенный раздел математической логики, а в качестве аксиоматического исчисления- выраженная в символах та или иная научная дисциплина. В результате научные теории выступают в формализованном виде, а обоснование аксиоматического метода смыкается с учением о формальных системах, развиваемым в математической логике и в математике.

Аксиоматический метод - один из методов дедуктивного построения научных теорий, в процессе реализации которого:

Формулируется система основных терминов науки, например, в геометрии Евклида - это понятия точки, прямой, угла, плоскости и др.;

Из этих терминов образуется некоторое множество аксиом (постулатов) - положений, не требующих доказательств и являющихся исходными, из которых выводятся все другие утверждения данной теории по определенным правилам дедукции, например, в геометрии Евклида: "через две точки можно провести только одну прямую", "целое больше части";

Формулируется система правил вывода, позволяющая преобразовывать исходные положения и переходить от одних положений к другим, а также вводить новые термины (понятия) в теорию;

Осуществляется преобразование постулатов по правилам, дающим возможность из ограниченного числа аксиом получать множество доказуемых положений-теорем.

Таким образом, для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные дедуктивные правила вывода. Все понятия теории, кроме первоначальных, вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные понятия. Следовательно, доказательством в аксиоматическом методе является некоторая последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул по правилам вывода.

К аксиоматически построенной системе знаний предъявляются следующие требования:

Непротиворечивость аксиом (согласно закону логики о непротиворечивости суждений), т. е. в системе аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо предложение и его отрицание.

Полнота, т. е. из аксиом должно быть выводимо или предложение, или его отрицание;

Независимость аксиом, т. е. любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом, иначе она переводится в раздел теорем.

Большой интерес представляет вопрос об истинности аксиоматических теорий. Необходимым условием их истинности является внутренняя непротиворечивость. Однако она свидетельствует с достоверностью лишь о том, что теория построена правильно. Поэтому аксиоматическая теория может быть признана действительно истинной и такой, которая может верно отображать реальную действительность лишь в том случае, когда истинны как ее аксиома, так и правила, по которым получены все остальные утверждения теории.

Изложенное позволяет сделать вывод: основное достоинство аксиоматического метода состоит в том, что аксиоматизация упорядочивает знание, исключает из него ненужные элементы, облегчает процесс построения всей системы знания, устраняет двусмысленность и противоречивость. Иначе говоря, аксиоматический метод всесторонне рационализирует организацию научного знания.

Высоко оценивая аксиоматический метод, необходимо подчеркнуть, что сфера его применимости хотя и возрастает в настоящее время, однако остается пока относительно ограниченной, В нематематических науках этот метод играет вспомогательную роль, и процесс его применении здесь существенно зависит от уровня математизации соответствующей области знания; Отмечая ограниченность этого метода, Л. де Бройль обращал внимание на то, что "аксиоматический метод может быть хорошим методом классификации или преподавания, но он не является методом открытия" .

Тем не менее, аксиоматический метод является важным средством организации современного научного знания. Сейчас аксиоматизация применяется во многих областях математики (в геометрии, теории чисел, теории множеств, теории вероятностей и т. д.), в математической логике, ряде областей физики и биологии. Вопрос об аксиоматизации возникает уже в определенных разделах лингвистики, медицины, социологии и в других науках.

Сущность гипотетико-дедуктивного метода заключается в создании системы дедуктивно связанных между собой гипотез, из которых в конечном счете выводятся утверждения об эмпирических фактах, истинное значение которых неизвестно. Поскольку в дедуктивном рассуждении значение истинности переносится на заключение, а посылками служат гипотезы, то и заключение гипотетико-дедуктивного метода имеет лишь вероятностный характер. Такой характер зак- лючения связан еще и с тем, что в формировании гипотез участвуют и догадка, и интуиция, и воображение, и индуктивное обобщение, не говоря уже об опыте, квалификации и таланте ученого. А все эти факторы почти не поддаются строгому логическому анализу.

Следовательно, исходными понятиями гипотетико-дедуктивного метода являются: во-первых, гипотеза - предположение о существовании некоторых явлений или процессов, истинность такого допущения неопределенна, оно проблематично; во-вторых, дедукция (выведение) - переход в процессе исследования от общего к частному (единичному), выведение последнего из первого, то есть переход по определенным правилам логики от предположений (посылок) к их следствиям (заключениям). Поэтому с логической точки зрения гипотетико-дедуктивный метод представляет собой иерархию гипотез, степень абстрактности и общности которых увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса. На самом верху располагаются гипотезы, имеющие наиболее общий характер и поэтому обладающие наибольшей логической силой. Из них, как посылок, выводятся гипотезы более низкого уровня. На самом низком уровне - гипотезы, которые можно сопоставить с эмпирической действительностью.

Общая структура гипотетико-дедуктивного метода как способа научного исследования выражается в следующем:

Ознакомление с фактическим материалом, добытым на эмпирическом уровне, с целью теоретического объяснения с помощью уже существующих теорий и законов;

Выдвижение догадки (предположения) о причинах и закономерностях данных явлений с помощью различных логических приемов, и прежде всего - абстрагирования;

Оценка серьезности предположений и отбор из множества догадок наиболее вероятной. При этом гипотеза проверяется на логическую непротиворечивость и совместимость с фундаментальными теоретическими принципами данной науки, например, с законом сохранения и превращения энергии;

Выделение из гипотезы (обычно дедуктивным путем) следствий с уточнением ее содержания;

Экспериментальная проверка выведенных из гипотезы следствий. Тут гипотеза или получает экспериментальное подтверждение, или опровергается. Однако подтверждение не гарантирует ее истинности в целом (или ложности). Лучшая по результатам проверки гипотеза переходит в теорию, как это было, например, с периодическим законом Д. Менделеева.

Теория, создаваемая гипотетико-дедуктивным методом, может шаг за шагом пополняться гипотезами, но до определенных пределов, пока не возникают затруднения в ее дальнейшем развитии. В такие периоды становится необходимой перестройка самого ядра теоретической конструкции, выдвижение новой гипотетико-дедуктивной системы, которая смогла бы объяснить изучаемые факты без введения дополнительных гипотез и, кроме того, предсказать новые факты. Чаще всего в такие периоды выдвигается не одна, а сразу несколько конкурирующих гипотетико-дедуктивных систем. Например, в период перестройки электродинамики Лоренца конкурировали системы самого Лоренца, Эйнштейна и близкая к последней гипотеза Пуанкаре, в период построения квантовой механики- волновая механика Бройля - Шредингера и матричная волновая механика Гейзенберга.

Каждая гипотетико-дедуктивная система реализует особую программу исследования, суть которой выражает гипотеза верхнего яруса. Поэтому конкуренция гипотетико-дедуктивных систем выступает как борьба различных исследовательских программ. Например, постулаты Лоренца формулировали программу построения теории электромагнитных процессов на основе представлений о взаимодействии электронов и электромагнитных полей в абсолютном пространстве - времени. Ядро гипотетико-дедуктивной системы, предложенной Эйнштейном для описания тех же процессов, содержало программу, связанную с релятивистскими представлениями о про- странстве - времени.

В борьбе конкурирующих исследовательских программ побеждает та, которая наилучшим образом вбирает в себя опытные данные и дает предсказания, являющиеся неожиданными с позиций других программ.

Разновидностью гипотетико-дедуктивного метода можно считать математическую гипотезу, которая используется как важнейшее эвристическое средство для открытия закономерностей в естествознании. Обычно гипотезами здесь являются уравнения, представляющие собой модификацию ранее известных и проверенных соотношений. Изменяя эти соотношения, на их основе составляют новое уравнение, выражающее гипотезу, которая относится к исследуемым явлениям.

Таким образом, гипотетико-дедуктивный метод является не столько методом открытия, сколько методом построения и обоснования научного знания, поскольку показывает, каким именно путем можно прийти к новой гипотезе, а затем и к новой теории. В то же время он является необходимым элементом метода восхождения от абстрактного к конкретному.

Восхождение от абстрактного к конкретному - это метод научного исследования, выражающий движение теоретической мысли ко все более полному, всестороннему и целостному воспроизведению предмета в мысли. Он характеризует направленность научно - исследовательского процесса в целом, т. е. движение мысли от менее содержательного к более содержательному знанию. Применяя данный метод, исследователь вначале находит главную связь (отношение) изучаемого объекта, а затем, шаг за шагом прослеживая, как она видоизменяется в различных условиях, открывает новые связи, устанавливает их взаимодействия и таким путем отображает во всей полноте сущность изучаемого объекта.

Рассмотрим термины "абстрактное" и "конкретное". Абстрактное (от лат. abstractio - удаление, отвлечение) это результат процесса абстрагирования, который заключается в мысленном отвлечении от ряда свойств, связей, отношений изучаемого объекта и в мысленном выделении тех свойств и отношений, которые необходимы исследователю при изучении объекта на данном этапе. Конкретное (от лат. concretus - сросшийся) употребляется для выражения самих предметов и явлений реальной действительности, взятых во всей сложности и многогранности их свойств, связей и отношений. Термин "конкретное" употребляется также для обозначения всестороннего, систематического знания о конкретном предмете (объекте). Конкретное знание выступает как противоположность абстрактного знания, т. е. знания, одностороннего по содержанию.

В чем же сущность метода восхождения от абстрактного к конкретному? Данный метод представляет собой всеобщую форму движения научного знания, закон отображения реальной действительности в мышлении исследователя. Согласно этому методу процесс познания как бы разбивается на два относительно самостоятельных этапа.

На первом этапе осуществляется переход от чувственно-конкретного, от конкретного в реальной действительности к его абстрактным определениям. Единый объект расчленяется, описывается с помощью множества понятий, суждений и определений. Он как бы "испаряется", превращаясь в совокупность зафиксированных мышлением абстракций, односторонних определений.

Второй этап процесса познания и является восхождение от абстрактного к конкретному. Суть его состоит в движении мысли от абстрактных определений объекта, т. е. от абстрактного в познании, к всестороннему, многогранному знанию об объекте, к конкретному в познании. На этом этапе как бы восстанавливается исходная целостность объекта, он воспроизводится во всей своей многогранности - но уже в мышлении.

Рассматриваемые этапы научного исследования тесно взаимосвязаны. Восхождение от абстрактного к конкретному невозможно без предварительного "анатомирования" объекта мыслью, без восхождения от конкретного в реальной действительности к абстрактным его определениям. При этом собственно процесс формирования абстракций не является нечто абсолютно самостоятельное. Он осуществляется и продолжается при развертывании знаний об объекте в систему, т. е. в процесс собственно восхождения от абстрактного к конкретному. В то же время сведение конкретного объекта к совокупности абстракций не производится без осознанной цели познания, общей идеи исследования, без представления о том, к чему стремится, восходит мышление. В противном случае будут получены ненужные, ничему не служащие абстракции.

Таким образом, рассматриваемый метод представляет собой закон научного исследования, согласно которому мышление восходит от конкретного в реальной действительности к абстрактному в мышлении и от него - к конкретному в мышлении. Но почему же этот метод называется методом восхождения от абстрактного к конкретному? Нет ли здесь ошибки по существу или хотя бы термино- логической неточности? Дело в том, что процесс теоретического мышления в познании - это движение от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному, которые выступают как процессы разной "весомости". Форма движения мысли, которую мы называем восхождением от абстрактного к конкретному, является определяющей, доминирующей по отношению к восхождению от конкретного к абстрактному. Задачи получения абстракций, односторонних определений подчинены общей задаче восхождения к конкретному. Получение конкретного знания - это цель, которая как закон определяет способ действия исследователя. В этом плане абстрактное предстает лишь как средство достижения поставленной цели. Восхождение от конкретного к абстрактному обретает смысл лишь в данной своей включенности в общее движение мысли к конкретному. Именно потому рассматриваемый метод и называется именно восхождением от абстрактного к конкретному. Разумеется, все изложенное отнюдь не означает, что восхождение от конкретного к абстрактному может недооцениваться. Без этого этапа познания невозможно постижение объекта во всей его конкретности, но тем не менее на данном этапе познания достигаются лишь его промежуточные цели.

Метод восхождения от абстрактного к конкретному впервые в общей форме был рассмотрен Г. Гегелем. Он первый усмотрел в восхождении от абстрактного к конкретному проявление действия закона, управляющего всем историческим процессом развития знания; однако рассматривал этот закон с позиций идеализма.

Таким образом, можно сделать вывод, что метод восхождения от абстрактного к конкретному широко применяется в процессе развития познания и знания, при построении различных научных теорий и концепций, поэтому должен активно использоваться как в общественных, так и в естественных науках, во всех формах и видах научно-исследовательской деятельности.

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения. Оно содержит в полном объеме предназначенный для изучения теоретический материал в соответствии с Государственным образовательным стандартом и рабочей программой, задачи для самостоятельного решения, вопросы к экзамену (зачету), темы рефератов, памятку для студентов, задания контрольной работы для студентов заочного отделения, примерный вариант решения этой контрольной работы и список дополнительной литературы.

Теоретический материал был отобран из учебников по математике для гуманитарных специальностей, научно-популярной литературы, методически обработан для самостоятельного изучения и содержит большое количество примеров, поясняющих теорию и помогающих в дальнейшем в решении задач.

Задачи для самостоятельного решения разбиты на два уровня сложности: основной и повышенный. Задачи основного уровня сложности составлены по аналогии с примерами, имеющимися в теоретическом материале соответствующей темы. В задачах повышенного уровня сложности требуется предварительный анализ по распознаванию задачи и приведению ее к стандартному виду. Задачи сгруппированы по темам и по типам. Это позволяет преподавателю составлять не менее 10 вариантов карточек для самостоятельной работы основного уровня и не менее 5 вариантов повышенного уровня по каждой теме.

Перед началом работы с пособием студенту необходимо внимательно ознакомиться с памяткой. В ней указан алгоритм изучения каждой темы. Темы можно изучать в произвольном порядке, кроме тем «Элементы комбинаторики» и «Элементы теории вероятностей». Вторая тема изучается после первой, так как использует формулы и определения, сформулированные в теме «Элементы комбинаторики».

ПАМЯТКА СТУДЕНТУ

Я слышу – и забываю,

Я вижу – и запоминаю,

Я делаю – и понимаю.

Конфуций

Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим образом. Студент читает материал, берет карточку с заданием. Выполнив задание, дает решение на проверку преподавателю. Если задание выполнено верно, то он берет новое задание и так далее до тех пор, пока не выполнит все задания, относящиеся к изученной порции материала. Если студент затрудняется в выполнении задания, он должен еще раз обратиться к учебным материалам, можно также обратиться за консультацией к преподавателю.

Каждый студент имеет возможность работать в индивидуальном режиме и изучать темы в произвольном порядке. Уровень трудности студент выбирает сам (первый либо второй), причем он в любое время может перейти от одного уровня сложности к другому. При выборе первого уровня сложности должны быть пройдены следующие этапы:

2 Решить задачи для самостоятельной работы (по выбору преподавателя).

3 Сдать зачет по теории (ответить на три вопроса из списка по выбору преподавателя).

4 Выполнить контрольную работу.

Выбрав второй уровень сложности, студент освобождается от теоретических вопросов по данной теме (3 этап).

Если тема содержит только теоретический материал, то сдается только зачет по теории (3 этап). Зачет по теории в этом случае также можно получить, выполнив и защитив реферат по данной теме (темы рефератов указаны в приложении).

На экзамен (зачет) выносятся те темы, по которым студент не успел отчитаться в установленные сроки.

Студент, отчитавшийся в установленные сроки по всем темам, освобождается от сдачи экзамена (зачета). В этом случае оценка за экзамен выставляется по результатам балльно-рейтингового контроля.

В таблице 2 представлены показатели балльно-рейтинговой системы для выставления итоговой оценки по дисциплине.

Для получения зачета нужно набрать не менее 61 балла.

Для получения допуска на экзамен нужно набрать не менее 51 балла

Оценка «3 (посредственно)» выставляется, если набрано 61-67 баллов.

Оценка «3 (удовлетворительно)» выставляется, если набрано 68-73 балла.

Оценка «4 (хорошо)» выставляется, если набрано 74-83 балла.

Оценка «4 (очень хорошо)» выставляется, если набрано 84-90 баллов.

Оценка «5 (отлично)» выставляется, если набрано 91-100 баллов.

Тема 1: Аксиоматический метод

Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.

П.Дирак

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.

Евклид

Сущность аксиоматического метода

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.

Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.

К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.

Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .

Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.

Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .

Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.

Пример 2.

Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».

Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».

Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:

1) перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);

2) формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;

3) предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;

4) предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.

1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория

Исторический обзор обоснования геометрии. Геометрия, прежде чем стать аксиоматической теорией, прошла долгий путь эмпирического развития.

Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока (Египет, Китай, Индия) в связи с развитием земледелия, ограниченностью плодородных земель и др. В этих странах геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор отдельных «рецептов-правил» для решения конкретных задач. Уже во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, объем усеченной пирамиды, площадь круга, а вавилоняне знали теорему Пифагора. Заметим, что доказательств не было, а указывались правила для вычислений.

Греческий период развития геометрии начался в VII-VI вв. до н.э. под влиянием египтян. Отцом греческой математики считается знаменитый философ Фалес (640-548 гг. до н.э.). Фалесу, точнее, его математической школе принадлежат доказательства свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. В дальнейшем геометром Древней Греции были получены результаты, охватывающие почти все содержание современного школьного курса геометрии.

Философская школа Пифагора (570-471 гг. до н.э.) открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование пяти типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит (470-370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (410-356 гг. до н.э.) создал геометрическую теорию пропорций (т.е. теорию пропорциональных чисел).

Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед (289-212 гг. до н.э.) открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и других фигур. Он же нашел приближенное значение числа π.

Особая заслуга древнегреческих ученых состоит в том, что они первыми поставили задачу строгого построения геометрических знаний и решили ее в первом приближении. Проблему поставил Платон (428-348 гг. до н.э.). Аристотелю (384-322 гг. до н.э.) – крупнейшему философу, основателю формальной логики – принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе лишь правил логики. Эту задачу пытались решить многие греческие ученые (Гиппократ, Федий).

Евклид (330-275 гг. до н. э.) – крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (в Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное на таком научном уровне, что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «Начала» состоят из 13 книг (глав):

I-VI – планиметрия;

VII-IХ – арифметика в геометрическом изложении;

X – несоизмеримые отрезки;

ХI-ХII – стереометрия.

В «Начала» были включены не все сведения, известные в геометрии. Например, в эти книги не вошли: теория конических сечений, кривые высших порядков.

Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Например, в книге I даны 23 определения. Приведем определения первых четырех понятий:

1 Точка есть то, что не имеет частей.

2 Линия есть длина без ширины.

3 Границы линии суть точки.

Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты и аксиомы. Постулатов у него пять, а аксиом – семь. Вот некоторые из них:

IV И чтобы все прямые углы были равны.

V И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

I Равные порознь третьему равны между собой.

II И если к равным прибавить равные, то получим равные.

VII И совмещающиеся равны.

Евклид не указал, в чем заключается различие между постулатами и аксиомами. До сих пор нет окончательного решения этого вопроса.

Евклид излагает теорию геометрии так, как требовали греческие ученые, особенно Аристотель, т.е. теоремы расположены так, что каждая следующая доказывается только на основе предыдущих. Иначе говоря, Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. В этом и заключается историческая заслуга Евклида перед наукой.

«Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. Эти книги переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий.

Недостатки системы Евклида. С точки зрения современной математики изложение «Начал» следует признать несовершенным. Назовем основные недостатки этой системы:

1) многие понятия включают такие, которые в свою очередь должны быть определены (например, в определениях 1-4 главы 1 используются понятия ширины, длины, границы, которые также должны быть определены);

2) список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. Например, в этом списке нет аксиом порядка, без которых нельзя доказать многие теоремы геометрии; заметим, что на это обстоятельство обратил внимание Гаусс. В указанном списке отсутствуют также определения понятия движения (совмещения) и свойств движения, т.е. аксиом движения. В списке не хватает также аксиомы Архимеда (одной из двух аксиом непрерывности), которая играет важную роль в теории измерений длин отрезков, площадей фигур и объектов тел. Заметим, что на это обратил внимание современник Евклида Архимед;

3) постулат IV явно лишний, его можно доказать как теорему. Особо отметим пятый постулат. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказаны без ссылок на пятый постулат. Попытка минимизировать список аксиом и постулатов, в частности доказать постулат V как теорему, проводилась со времен самого Евклида. Прокл (V в. н. э.), Омар Хайям (1048-1123 гг.), Валлис (XVII в.), Саккери и Ламберт (XVIII в.), Лежандр (1752-1833 гг.) также пытались доказать постулат V как теорему. Их доказательства были ошибочными, но они привели к положительным результатам – к рождению еще двух геометрий (Римана и Лобачевского).

Неевклидовы геометрические системы. Н.Лобачевский (1792-1856 гг.), который открыл новую геометрию – геометрию Лобачевского, также начал с попытки доказательства постулата V.

Николай Иванович развил свою систему до объема «Начал» в надежде получить противоречие. Не получил, но сделал в 1826 г. правильный вывод: существует геометрия, отличная от геометрии Евклида.

На первый взгляд этот вывод кажется недостаточно обоснованным: может быть, развивая его дальше, можно прийти к противоречию. Но этот же вопрос относится и к геометрии Евклида. Иначе говоря, обе геометрии равноправны перед вопросом о логической непротиворечивости. Дальнейшие исследования показали, что из непротиворечивости одной следует непротиворечивость другой геометрии, т.е. имеет место равноправие логических систем.

Лобачевский был первым, но не единственным, кто сделал вывод о существовании другой геометрии. Гаусс (1777-1855 гг.) высказал эту идею еще в 1816 г. в частных письмах, но в официальных публикациях заявление не сделал.

Три года спустя после публикации результатов Лобачевского (в 1829 г.), т.е. в 1832 г., вышла работа венгра Я. Бойяи (1802-1860 гг.), который в 1823 г. пришел к выводу о существовании другой геометрии, но опубликовал позже и в менее развитом, чем у Лобачевского, виде. Поэтому справедливо, что эта геометрия носит имя Лобачевского.

Общему признанию геометрии Лобачевского в значительной степени способствовали работы геометров после Лобачевского. В 1868 г. итальянский математик Э.Бельтрами (1825-1900 гг.) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны (так называемая псевдосфера) имеет место геометрия Лобачевского. Уязвимым местом доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, основанного на интерпретации Бельтрами, было то, что, как показал Д.Гильберт (1862-1943 гг.), в евклидовом пространстве не существует полной поверхности постоянной отрицательной кривизны без особенностей. Поэтому на поверхности постоянной отрицательной кривизны можно интерпретировать только часть плоской геометрии Лобачевского. Этот недостаток был устранен А.Пуанкаре (1854-1912 гг.) и Ф.Клейном (1849-1925 гг.).

Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было вместе с тем и доказательством независимости пятого постулата от остальных. Действительно, в случае зависимости геометрия Лобачевского была бы противоречивой, так как она содержала бы два взаимно исключающих утверждения.

Дальнейшие исследования евклидовой геометрии показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899 г. Гильберт.

Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп:

Аксиомы связи (принадлежности);

Аксиомы порядка;

Аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения);

Аксиомы непрерывности;

Аксиома параллельности.

Эти аксиомы (всего их 20) относятся к объектам трех родов: точек, прямых, плоскостей, а также к трем отношениям между ними: «принадлежит», «лежит между», «конгруэнтен». Конкретный смысл точек, прямых, плоскостей и отношений не указан. Они косвенно определены через аксиомы. Благодаря этому построенная на основе аксиом Гильберта геометрия допускает различные конкретные реализации.

Геометрическая система, построенная на перечисленных аксиомах, называется евклидовой геометрией, так как совпадает с геометрией, изложенной Евклидом в «Началах».

Геометрические системы, отличные от евклидовой, называются неевклидовыми геометриями. Согласно общей теории относительности, в пространстве ни та, ни другая не являются абсолютно точными, однако в малых масштабах (земные масштабы являются также достаточно «малыми») они вполне пригодны для описания пространства. Причиной того, что на практике применяются евклидовы формулы, является их простота.

Гильберт всесторонне исследовал свою систему аксиом, показал, что она непротиворечива, если не противоречива арифметика (т.е. на самом деле доказана содержательная или так называемая внешняя непротиворечивость). Он завершил многовековые исследования геометров по обоснованию геометрии. Эта работа была высоко оценена и в 1903 г. отмечена премией имени Лобачевского.

В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиомами Гильберта: учебники по геометрии построены на различных модификациях этой системы аксиом.

В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая А.Эйнштейном и другими учеными в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.

Предмет математики

Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов естествознания и техники. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к совсем иным областям знания.

Известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение дано Ф.Энгельсом, другое – коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н.Бурбаки.

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение нельзя считать полным определением математики, поскольку оно не указывает метод, цели изучения математики, но отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.

Второй подход отражает методологические установки Н. Бурбаки, которые также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной.

В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается, во-первых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т. е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения различных по своему конкретному содержанию объектов.

Эта фундаментальная идея лежит в основе понятия абстрактной структуры. Н.Бурбаки выделяют три основных типа структур, которые играют важную роль при построении ими современной математики.

Алгебраические структуры. Примерами таких структур являются группы, кольца и поля. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве А конечного числа операций с соответствующими свойствами, описываемых системой аксиом. В качестве элементов множества А могут выступать как математические объекты (числа, матрицы, перемещения, векторы), так и нематематические.

Структуры порядка характеризуются тем, что на рассматриваемом множестве задается отношение порядка (сравнение на числовых множествах), для которого выполняются следующие свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Топологические структуры. Множество М обладает топологической структурой, если каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из М, называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологических структур). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как «окрестность», «предел», «непрерывность».

Кроме основных трех типов структур (порождающих), в математике приходится рассматривать сложные структуры, где порождающие структуры органически связываются с помощью объединяющей системы аксиом. Например, множество действительных чисел является сложной структурой, в которую одновременно входят три основные порождающие структуры.

Общей чертой различных понятий, объединенных родовым названием «математическая структура», является то, что они применимы ко множеству элементов, природа которых не определена. Построить аксиоматическую теорию структуры – значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов, от всяких гипотез относительно их «природы».

На основе сказанного Н.Бурбаки делают вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».

Итак, по Н.Бурбаки, математика – это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса устарело.

Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием приобретает все более сложные формы. Новые теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неевклидовых геометрий.

Вторая особенность этого периода развития математики связана со значительным расширением области ее приложений. Если до этого математика применялась в таких разделах физики, как механика и оптика, то теперь ее результаты находят приложение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли потребности техники в математике: баллистика, машиностроение и др.

Третья особенность математики XIX в. обусловлена усиленным вниманием к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также к критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Г. Рузавин так пишет о математике этого периода: «Если раньше основным предметом ее изучения были метрические количественные отношения между величинами и пространственными формами, то, начиная с середины XIX в. она все больше и больше обращается к анализу взаимосвязей неметрической природы». Такое расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности ее понятий и теорий.

Революционный переворот во взглядах на математику был связан как раз с ее обоснованием, новым пониманием аксиоматического метода. Открытие в 1826 г. Н.Лобачевским того, что замена пятого постулата Евклида о параллельных его отрицанием («Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную»), и выводы из системы аксиом абсолютной геометрии (где выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности) и аксиомы параллельности Лобачевского не привели к логическим погрешностям.

Это развило столь же стройную и богатую содержанием геометрию, как и геометрия Евклида, послужило толчком в изменении взглядов на математику. Сразу встал вопрос о необходимости обоснования новой геометрии, исследовании ее непротиворечивости (из данной системы аксиом нельзя получить двух взаимоисключающих выводов). В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1) решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2) появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формально-логическую систему. Решение этих проблем было предложено Д. Гильбертом.

Новый взгляд на аксиоматический метод в корне изменил прежние представления о геометрии как полуэмпирической науке. Из открытий неевклидовых геометрий и построения их интерпретаций следовало, что евклидова и неевклидовы геометрии не представляют непосредственное описание эмпирических свойств реального физического пространства, а являются абстрактными системами утверждений, истинность которых может быть проверена после соответствующей конкретной интерпретации.

Таким образом, подход Н.Бурбаки к определению математики как «скоплению абстрактных, бессодержательных, математических структур» был предопределен новым пониманием аксиоматического метода.

Однако подход Н.Бурбаки встретил и негативное отношение, поскольку они не считали нужным выяснять отношение рассматриваемых структур к действительному миру. Не имея возможности описать различные оценки философов и математиков и позиции Н.Бурбаки, остановимся на точке зрения ведущих отечественных математиков – А.Колмогорова, А.Александрова, В.Гнеденко. Они считают, что во времена Энгельса математика изучала количественные отношения между величинами и пространственными формами. Теперь она поднялась до изучения абстрактных структур и категорий. Но на этом основании нельзя считать, что объект изучения математики стал иным, что вместо количественного аспекта действительного мира математика стала исследовать нечто принципиально иное, что современный этап ее развития не связан с предшествующими этапами.

В действительности дело заключается в том, что качественные изменения, происшедшие в математике, дают ей возможность исследовать количественные отношения глубже и шире. А.Колмогоров приходит к выводу, что круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира применимо и на современном этапе ее развития.

Эту позицию разделяет и А.Александров: в математике рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений. Б. Гнеденко обращает внимание на то, что, хотя любая ветвь современной математики действительно изучает математические структуры, данное Н.Бурбаки определение отнюдь не находится в антагонистических отношениях с определением Ф.Энгельса, а лишь с определенных позиций его дополняет.

Подводя итог сказанному, можно заключить, что подход к определению математики через математические структуры представляет собой выражение определенного этапа математического познания. Математика была и остается определенным «инструментом» познания мира, его пространственных форм и количественных отношений. В настоящее время, как уже отмечалось, этот «инструмент» проникает в изучение все более сложных процессов и явлений, в том числе и неметрической природы. Без осознания этого фундаментального философского, методологического положения не может быть сформировано целостное представление об общей картине мира.

Математика претендует на статус «особой» науки, изначально превышающей все прочие по уровню точности, истинности и непротиворечивости своих фундаментальных положений. В сфере конечных величин математика действительно относительно точна и непротиворечива; этого достаточно для более или менее адекватного количественного моделирования самых различных конечных по размерности предметных областей. Что же касается сферы бесконечного, то здесь у современной математики есть свои противоречия, которые могут быть преодолены лишь совместными усилиями математиков, философов и логиков.