Математические способности и личность. Понятие математических способностей и их структура

Наверняка вам встречались люди, которые как будто родились с логарифмической линейкой в руках. Насколько способности к математике предопределены природой?

У всех нас есть врождённое математическое чувство - именно оно позволяет нам грубо оценивать и сравнивать количество предметов, не прибегая к точному счёту. Именно с помощью этого чувства мы автоматически выбираем самую короткую очередь у кассы в супермаркете, не подсчитывая количество людей.

Но у некоторых людей математическое чувство развито лучше, чем у других. Несколько исследований, опубликованный в 2013 году, предполагают, что эта врождённая способность, являющаяся фундаментом для дальнейшего успешного изучения математической науки, может быть значительно развита с помощью практики и тренировок.

Исследователи обнаружили структурные особенности в мозге детей, которые наиболее успешно справлялись с математическими задачами. По словам психолога Элизабет Брэннон из Университета Дьюка, в итоге эти новые открытия могут помочь в поиске наиболее эффективных способов преподавания математики.

Как проводились исследования?

Можно ли развить математическое чувство?

Но врождённые способности вовсе не накладывают на нас ограничения. Брэннон и её коллега Джунку Парк привлекли 52 взрослых добровольцев к участию в небольшом эксперименте . В ходе эксперимента участники должны были решить несколько арифметических примеров с двузначными числами. Половина группы после этого прошла через 10 тренировочных сессий, в которых в уме оценивали количество точек на карточках. Контрольная группа такую серию испытаний не проходила. После этого обеим группам было предложено ещё раз решить арифметические примеры. Было обнаружено, что результаты участников, которые проходили тренировочные сессии, значительно превосходили результаты контрольной группы.

Эти два небольших исследования показывают, что врождённое математическое чувство и приобретаемые математические навыки неразрывно связаны между собой; работа над одним качеством неизбежно приведёт к совершенствованию и другого. Детские игры, направленные на тренировку математических способностей, действительно играют большую роль в последующем обучении математике.

Ещё одно опубликованное исследование помогает объяснить, почему одни дети обучаются лучше, чем другие. Учёные из Стэнфордского университета в течение 8 недель обучали 24 третьеклассников по специальной учебной программе с математическим уклоном. Уровень улучшения математических навыков этой группы детей колебался от 8% до 198% и не зависел от результатов тестов на интеллектуальное развитие, уровень памяти и когнитивных способностей.

Часть I
ИНДИВИДУАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧНОСТИ

В.А. Крутецкий. Математические способности и личность

Прежде всего следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, - она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности . На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество...

Составленные нами характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности (в относительно элементарных ее формах). Все без исключения наблюдаемые нами дети обладали обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Еще одна черта характера свойственна подлинному ученому - критическое отношение к себе, своим возможностям, своим достижениям, скромность, правильное отношение к своим способностям. Надо иметь в виду, что при неправильном отношении к способному школьнику - захваливании его, чрезмерном преувеличении его достижений, афишировании его способностей, подчеркивании его превосходства над другими - очень легко внушить ему веру в свою избранность, исключительность, заразить его «стойким вирусом зазнайства».

И наконец, последнее. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоничному развитию личности. Своеобразный «нигилизм» ко всему, кроме математики, резко одностороннее, «однобокое» развитие способностей не могут способствовать успешности в математической деятельности.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение... Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом - за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервио-психических сил... Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является системе специально организованных упражнений, тренировка.

СПЕЦИФИЧНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности, - способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению - по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости.

Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать нашу точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проивлением соответствующей способности в других областях... Иными словами, человек; талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д.И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули н единицы по языковым предметам. А.С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал».

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в В.Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч.Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В.Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А.С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А.В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н.В. Гоголь. М.Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л.Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали (правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе) слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению - одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Некоторые из наших испытуемых, проявляющих, например, способность к обобщению «с места» в области математики, не обладали этой способностью в области литературы, истории или географии. Имели место и обратные случаи: учащиеся, хорошо и быстро обобщающие и систематизирующие материал по литературе, истории или биологии, не проявляли подобной способности , в области математики.

Все сказанное выше позволяет нам сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде., - Те или иные особенности, умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряд случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики - мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Материалы нашего исследования - анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее - по биографическим материалам) - позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы:

1. часто (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения;
2. острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте;
3. большая (а часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой;
4. характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность сума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий.

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой (подчеркиваем это!) математической одаренности - мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на сакраментальный вопрос; «Математиком можно стать или им нужно родиться?» - мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, - многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А.Н. Колмогорова: «Талант , одаренность... в области математики... даны от природы не всем». О том же говорит и академик И.Е. Тамм: «Творить новое... под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня. - В.К.). Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы.

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968, с.380-390, 397-400

Способности к математике – это один из данных природой талантов, проявляющийся уже с раннего возраста и связанный напрямую со становлением творческого потенциала, стремлением к познанию мира вокруг малыша. Но почему изучение математики так сложно дается некоторым детям и можно ли улучшить эти способности?

Мнение, что математика подвластна лишь одарённым детям, ошибочно. Математические способности, как и прочие таланты, являются результатом гармоничного развития ребенка, и начинать надо с самого раннего возраста.

В современном компьютерном мире с его цифровыми технологиями умение “дружить” с числами крайне необходимо. Много профессий основано на математике, развивающей мышление и относящейся к одному из самых важных факторов влияния на интеллектуальный рост детей. Эта точная наука, чья роль в воспитании и обучении ребенка неоспорима, развивает логику, учит последовательно мыслить, определять сходства, связи и отличия предметов и явлений, делает детский ум быстрым, внимательным и гибким.

Чтобы занятия математикой у детей пяти-семи лет были эффективными, необходим серьезный подход, и первым делом следует диагностировать их знания и умения – оценить, на каком уровне находятся у малыша логическое мышление и базовые математические понятия.

Диагностика математических способностей детей 5-7 лет по методу Белошистой А.В.

Если ребенок с математическим складом ума освоил устный счет еще в раннем возрасте, это еще не является основанием для стопроцентной уверенности в его будущем как гения математики. Навыки устного счёта – это лишь небольшой элемент точной науки и далеко не самый сложный. О наличии у ребенка способностей к математике свидетельствует особый способ мышления, которому присущи логика и абстрактное мышление, понимание схем, таблиц и формул, умение анализировать, способность видеть фигуры в пространстве (объемными).

Чтобы определить наличие у детей от младшего дошкольного (4-5 лет) до младшего школьного возраста данных способностей, существует система эффективной диагностики, созданная доктором педагогических наук Анной Витальевной Белошистой. Она основана на создании учителем или родителем определенных ситуаций, в которых ребенок должен применить то или иное умение.

Этапы диагностики:

1. Проверка ребенка 5-6 лет на предмет владения навыками анализа и синтеза. На данном этапе можно оценить, как ребенок умеет сравнивать предметы различных форм, разделять их и обобщать по определенным признакам.
2. Тестирование навыков образного анализа у детей в возрасте 5-6 лет.
3. Проверка умения анализировать и синтезировать информацию, по результатам которого выявляется способность дошкольника (первоклассника) определять формы различных фигур и замечать их в сложных картинках с наложенными друг на друга фигурами.
4. Тестирование с целью определения у ребенка понимания базовых тезисов математики – речь идет о понятиях “больше” и “меньше”, порядковом счете, форме простейших геометрических фигур.

Первые два этапа такой диагностики проводятся в начале учебного года, остальные – в конце, что дает возможность оценить динамику математического развития ребенка.

Применяемый для проверки материал должен быть понятным и интересным для детей – соответствующим возрасту, ярким и с картинками.

Диагностика математических способностей ребенка по методу Колесниковой Е.В.

Елена Владимировна создала немало учебно-методических пособий для развития математических способностей у дошкольников. Её метод тестирования детей 6 и 7 лет получил широкое распространение у учителей и родителей разных стран и соответствует требованиям ФГОС (Россия).

Благодаря методу Колесниковой можно максимально точно установить уровень основных показателей развития математических навыков детей, узнать их готовность к школе, определить слабые стороны для своевременного восполнения пробелов. Данная диагностика помогает найти пути улучшения математических способностей малыша.

Развитие математических способностей ребенка: советы родителям

С любой наукой, даже такой серьезной, как математика, малыша лучше знакомить в игровой форме – именно это будет лучшим методом обучения, который следует выбрать родителям. Прислушайтесь к словам известного ученого Альберта Эйнштейна: “Игра – это высшая форма исследования”. Ведь при помощи игры можно получить потрясающие результаты:

– познание себя и окружающего мира;

– формирование базы математических знаний;

– развитие мышления:

– становление личности;

– развитие коммуникабельности.

Применять можно различные игры:

1. Счетные палочки. Благодаря им малыш запоминает формы предметов, развивает свое внимание, память, смекалку, формируются навыки сравнения и усидчивость.
2. Головоломки, развивающие логику и смекалку, внимание и память. Логические задачи помогают детям научиться лучшему восприятию пространства, взвешенному планированию, простому и обратному, а также порядковому счету.
3. Математические загадки – это отличный способ развития основных аспектов мышления: логики, анализа и синтеза, сравнения и обобщения. Во время поиска решения дети учатся самостоятельно делать выводы, справляться с трудностями и отстаивать свою точку зрения.

Развитие математических способностей через игру формирует учебный азарт, добавляет яркие эмоции, помогает малышу полюбить заинтересовавший его предмет изучения. Также стоит отметить, что игровая деятельность способствует и развитию творческих способностей.

Роль сказок в развитии математических способностей дошкольников

Детской памяти присущи свои особенности: она фиксирует яркие эмоциональные моменты, то есть ребенок запоминает ту информацию, которая связана с удивлением, радостью, восхищением. И учиться “из-под палки” – крайне неэффективный способ. В поиске результативных методов обучения взрослым следует вспомнить о таком простом и обыденном элементе, как сказка. Именно сказка является одним из первых средств знакомства малыша с окружающим миром.

Для детей сказка и реальность тесно связаны, волшебные персонажи – настоящие и живые. Благодаря сказкам развивается речь ребенка, его фантазия и смекалка; они дают понятие добра, честности, расширяют кругозор, а также дают возможность развивать и математические навыки.

К примеру, в сказке “Три медведя” малыш в ненавязчивой форме знакомится со счётом до трех, понятиями “маленький”, “средний” и “большой”. “Репка”, “Теремок”, “Козленок, который умел считать до 10”, “Волк и семеро козлят”, – в этих сказках можно научиться простому и порядковому счёту.

Обсуждая сказочных персонажей, можно предложить крохе сравнить их по ширине и высоте, “спрятать” в геометрических фигурах, подходящих по размеру или форме, что способствует развитию абстрактного мышления.

Использовать сказки можно не только дома, но и на занятиях в школе. Дети очень любят уроки, построенные на сюжетах их любимых сказок, с применением загадок, лабиринтов, пальцематики. Такие занятия станут настоящим приключением, в которых малыши будут принимать личное участие, а значит, и материал будет усвоен лучше. Главное – вовлечь детей в процесс игры и вызвать у них интерес.

Среди них особое место занимают две монографические работы - "Психология музыкальных способностей" и "Ум полководца", ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б.М.Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б.М.Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе "Ум полководца". Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б.М.Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б.М.Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Совсем не обязательно, чтобы она была универсальной. Гораздо важнее, чтобы она обладала избирательностью, то есть удерживала прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б.М.Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б.М.Теплов приходит к выводу, что "умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца" (Б.М.Теплов 1985, стр.249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием "воля". Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б.М.Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б.М.Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б.М.Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде "Математическое творчество" Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа , большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом "озарения" необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А.Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и потому могут понимать и применять математику. Третьи владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия (Пуанкаре А., 1909).

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж.Адамар, "между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера" (Адамар Ж., стр.98). Для того, чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В.А.Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики" (Крутецкий В.А.,1968).

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б.М.Теплов и С.Л.Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В.С.Мерлин, 1986). Б.Г.Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами "талант" и "призвание" (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э.А.Голубева 1993).

Основные принципы комплексного типологического подхода к изучению способностей и индивидуальности подробно изложены Э.А.Голубевой в соответствующей главе настоящей монографии. Одним из важнейших принципов является использование, наряду с качественным анализом, измерительных методов диагностики разных характеристик индивидуальности. Исходя из этого, мы строили экспериментальное исследование математических способностей. В нашу конкретную задачу входила диагностика свойств нервной системы, которые рассматривались в качестве задатков математических способностей, изучение личностных особенностей математически одаренных учащихся и особенностей их интеллекта. Эксперименты проводились на базе школы № 91 г. Москвы, в которой есть специализированные математические классы. В эти классы принимаются старшеклассники со всей Москвы, в основном победители районных и городских олимпиад, прошедшие дополнительное собеседование. Преподавание математики здесь ведется по более углубленной программе, дополнительно читается курс математического анализа. Исследование проводилось совместно с Е.П.Гусевой и учителем-экспериментатором В.М.Сапожниковым.

Все ученики, с которыми нам довелось работать в 8-10 классах, уже определились в своих интересах и склонностях. Дальнейшую свою учебу и работу они связывают с математикой. Их успешность по математике значительно превосходит успешность учеников нематематических классов. Но при общей высокой успешности внутри этой группы учащихся наблюдаются существенные индивидуальные различия. Исследование строилось таким образом. Мы наблюдали учащихся в процессе уроков, анализировали с помощью экспертов их контрольные работы, предлагали для решения экспериментальные задания, направленные на выявление некоторых компонентов математических способностей. Кроме того, с учащимися была проведена серия психологических и психофизиологических экспериментов. Изучались уровень развития и своеобразие интеллектуальных функций, выявлялись их личностные особенности и типологические особенности нервной системы. Всего на протяжении нескольких лет были обследованы 57 учеников с выраженными способностями к математике.

Результаты

Объективное измерение уровня интеллектуального развития при помощи теста Векслера у математически одаренных ребят показало, что большинство из них имеет очень высокий уровень общего интеллекта. Цифровые значения общего интеллекта многих учащихся, обследованных нами, превышали 130 баллов. Такой величины значения по некоторым нормативным классификациям обнаруживаются лишь у 2,2 населения. Следует также отметить, что в подавляющем большинстве случаев мы наблюдали преобладание вербального интеллекта над невербальным. Сам по себе факт наличия высокоразвитого общего и вербального интеллекта у детей с выраженными математическими способностями не является неожиданным. Многие исследователи математических способностей отмечали, что высокая степень развития словесно-логических функций является необходимым условием для математических способностей. Нас в данном случае интересовала не только количественная характеристика интеллекта, но и то, как она связана с психофизиологическими, природными особенностями учащихся. Индивидуальные особенности нервной системы диагностировались с помощью электроэнцефалографической методики. В качестве показателей свойств нервной системы были использованы фоновые и реактивные характеристики электроэнцефалограммы, запись которой производилась на 17-ти канальном энцефалографе. По этим показателям проводилась диагностика силы, лабильности и активированности нервной системы.

Мы установили, используя статистические методы анализа, что более высокий уровень вербального и общего интеллекта в этой выборке имели обладатели более сильной нервной системы. Они же имели и более высокие оценки успеваемости по предметам естественного и гуманитарного циклов. По данным других исследователей, полученным на подростках-старшеклассниках общеобразовательных школ, более высокий уровень интеллекта и лучшую успеваемость имели обладатели слабой нервной системы (Голубева Э.А. с соавт. 1974, Кадыров Б.Р. 1977). Причину такого расхождения следует, вероятно, искать прежде всего в характере самой учебной деятельности. Учащиеся математических классов испытывают значительно большие учебные нагрузки, по сравнению с учениками обычных классов. С ними проводятся дополнительные факультативы, кроме того, помимо обязательных домашних и классных заданий, они решают множество заданий, связанных с подготовкой в высшие учебные заведения. Интересы этих ребят смещены в сторону повышенной постоянной умственной нагрузки. Такие условия деятельности предъявляют повышенные требования к выносливости, работоспособности, а поскольку главным, определяющим признаком свойства силы нервной системы является способность выдерживать длительное возбуждение, не входя в состояние запредельного торможения, то видимо поэтому наибольшую результативность демонстрируют те учащиеся, которые обладают такими характеристиками нервной системы, как выносливость, работоспособность.

В.А.Крутецкий, изучая математическую деятельность способных к математике учеников, обращал внимание на их характерную особенность - способность к длительному поддержанию напряжения, когда ученик может долго и сосредоточенно заниматься, не обнаруживая усталости. Эти наблюдения позволили ему предположить, что такое свойство, как сила нервной системы, может являться одной из природных предпосылок, благоприятствующих развитию математических способностей. Полученные нами соотношения отчасти подтверждают это предположение. Почему лишь отчасти? Пониженная утомляемость в процессе занятий математикой отмечалась многими исследователями у способных к математике учеников по сравнению с неспособными к ней. Мы же обследовали выборку, которая состояла только из способных учащихся. Однако, среди них были не только обладатели сильной нервной системы, но и те, кто характеризовались как обладатели слабой нервной системы. Это означает, что не только высокая общая работоспособность, являющаяся благоприятной природной основой для успешности в данном виде деятельности, может обеспечивать развитие математических способностей.

Анализ личностных особенностей показал, что в целом для группы учащихся с более слабой нервной системы оказались более характерны такие черты личности как разумность, рассудительность, упорство (фактор J+), а также независимость, самостоятельность (фактор Q2+). Лица с высокими оценками по фактору J уделяют много внимания планированию поведения, анализируют свои ошибки, проявляя при этом "осторожный индивидуализм". Высокие оценки по фактору Q2 имеют люди, склонные к самостоятельному принятию решений, способные нести за них ответственность. Этот фактор обозначается как "мыслящая интроверсия". Вероятно, обладатели слабой нервной системы достигают успешности в данном виде деятельности в том числе за счет формирования таких качеств, как планирование действий, самостоятельность.

Можно также предположить, что разные полюса данного свойства нервной системы могут быть связаны с разными компонентами математических способностей. Так известно, что свойство слабости нервной системы характеризуется повышенной чувствительностью. Именно она может лежать в основе способности интуитивного, внезапного постижения истины, "озарения" или догадки, что является одним из важных компонентов математических способностей. И хотя это только предположение, но его подтверждение можно найти в конкретных примерах среди математически одаренных учеников. Приведем только два самых ярких таких примера. Дима на основании результатов объективной психофизиологической диагностики может быть отнесен к представителям сильного типа нервной системы. Он - "звезда первой величины" в математическом классе. Важно отметить то, что блестящих успехов он достигает без каких-либо видимых усилий, с легкостью. Никогда не жалуется на усталость. Уроки, занятия математикой являются для него необходимой постоянной умственной гимнастикой. Особое предпочтение отдается решению нестандартных, сложных задач, требующих напряжения мысли, глубокого анализа, строгой логический последовательности. Дима не допускает неточностей в изложении материала. Даже, если учитель при объяснении делает логические пропуски, Дима обязательно обратит на это внимание. Его отличает высокая интеллектуальная культура. Это подтверждается и результатами тестирования. У Димы самый высокий в обследованной группе показатель общего интеллекта - 149 усл.ед.

Антон - один из самых ярких представителей слабого типа нервной системы, которого нам довелось наблюдать среди математически одаренных ребят. Он очень быстро утомляется на уроке, не в состоянии долго и сосредоточенно работать, часто оставляет одни дела, чтобы без достаточного обдумывания взяться за другие. Случается, что он отказывается от решения задачи, если предвидит, что оно потребует больших усилий. Однако, несмотря на эти особенности, учителя очень высоко оценивают его математические способности. Дело в том, что он обладает прекрасной математической интуицией. Часто бывает, что он первым решает сложнейшие задания, выдавая конечный результат и опуская при этом все промежуточные этапы решения. Для него характерна способность к "озарению". Он не затрудняет себя объяснением, почему выбрано именно такое решение, но на проверку оно оказывается оптимальным и оригинальным.

Математические способности очень сложны и многогранны по своей структуре. И тем не менее выделяются как бы два основных типа людей с их проявлением - это "геометры" и "аналитики". В истории математики яркими примерами этого могут являться такие имена, как Пифагор и Евклид (крупнейшие геометры), Ковалевская и Клейн (аналитики, создатели теории функций). В основе такого деления лежат прежде всего индивидуальные особенности восприятия действительности, в том числе и математического материала. Оно определяется не предметом, над которым работает математик: аналитики и в геометрии остаются аналитиками, тогда как геометры любую математическую реальность предпочитают воспринимать образно. В этой связи уместно привести высказывание А.Пуанкаре: "Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом." (цит. по Ж.Адамару, стр.102).

В школьной практике при работе с одаренными учащимися эти различия проявляются не только в разной успешности овладения разными разделами математики, но и в предпочтительном отношении к принципам решения задач. Одни ученики любые задачи стремятся решить с помощью формул, логического рассуждения, другие по возможности используют пространственные представления. Причем эти различия являются весьма устойчивыми. Конечно, среди учеников встречаются и такие, у которых наблюдается определенное равновесие этих характеристик. Они одинаково ровно овладевают всеми разделами математики, используя при этом разные принципы подхода к решению разных задач. Индивидуальные различия между учащимися в подходах к решению задач и методах их решения были нами выявлены не только благодаря наблюдению за учащимися при работе на уроках, но и экспериментальным путем. Для анализа отдельных компонентов математических способностей учителем-экспериментатором В.М.Сапожниковым была разработана серия специальных экспериментальных задач. Анализ результатов решения задач этой серии позволил получить объективное представление о характере мыслительной деятельности школьников и о соотношении образного и аналитического компонентов математического мышления.

Были выявлены учащиеся, которые лучше справлялись с решением алгебраических задач, а также те, кто лучше решал геометрические задачи. Эксперимент показал, что среди учащихся есть представители аналитического типа математического мышления, которые характеризуются явным преобладанием вербально-логического компонента. У них нет потребности в наглядных схемах, они предпочитают оперировать знаковыми символами. Мышление учащихся, оказывающих предпочтение геометрическим заданиям, характеризуются большей выраженностью наглядно-образного компонента. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядном представлении и интерпретации в выражении математических отношений и зависимостей.

Из общего числа математически одаренных учеников, принявших участие в экспериментах, были выделены самые яркие "аналитики" и "геометры", составившие две крайние группы. В группу "аналитиков" вошли 11 человек, наиболее ярких представителей вербально-логического типа мышления. Группа "геометров" состояла из 5 человек, с ярким наглядно-образным типом мышления. Тот факт, что в группу ярких представителей "геометров" удалось отобрать значительно меньше учеников, можно объяснить, на наш взгляд, следующим обстоятельством. При проведении математических конкурсов и олимпиад недостаточно учитывается роль наглядно-образных компонентов мышления. В конкурсных заданиях удельный вес задач по геометрии невысок - из 4-5 заданий в лучшем случае одно направлено на выявление пространственных представлений у учащихся. Тем самым при отборе как бы "отсекаются" потенциально способные математики-геометры с ярким наглядно-образным типом мышления. Дальнейший анализ проводился с использованием статистического метода сравнения групповых различий (t-критерий Стьюдента) по всем, имевшимся в нашем распоряжении психофизиологическим и психологическим показателям.

Известно, что типологическая концепция И.П.Павлова помимо физиологической теории свойств нервной системы включала в себя классификацию специально человеческих типов высшей нервной деятельности, различающихся по соотношению сигнальных систем. Это - "художники", с преобладанием первой сигнальной системы, "мыслители", с преобладанием второй сигнальной системы, и средний тип, с равновесием обеих систем. Для "мыслителей" наиболее характерным является абстрактно-логический способ переработки информации, тогда как "художники" обладают ярким образным целостным восприятием действительности. Безусловно, эти различия не носят абсолютный характер, а отражают лишь преимущественные формы реагирования. Те же принципы лежат в основе различий между "аналитиками" и "геометрами". Первые предпочитают аналитические способы решения любых математических задач, то есть по типу приближаются к "мыслителям". "Геометры" стремятся вычленить в задачах образные компоненты, тем самым действуют так, как характерно для "художников".

В последнее время появился ряд работ, в которых предпринимались попытки объединить учение об основных свойствах нервной системы с представлениями о специально человеческих типах - "художниках" и "мыслителях". Установлено, что к "художественному" типу тяготеют обладатели сильной, лабильной и активированной нервной системы, а к "мыслительному" - слабой, инертной и инактивированной нервной системы (Печенков В.В., 1989). В нашей работе из показателей различных свойств нервной системы, наиболее информативной психофизиологической характеристикой при диагностике типов математического мышления оказалась характеристика свойства силы-слабости нервной системы. В группу "аналитиков" вошли обладатели относительно более слабой нервной системы, по сравнению с группой "геометров". То есть, выявленные нами различия между группами по свойству силы-слабости нервной системы оказались в русле ранее полученных результатов. По двум другим свойствам нервной системы (лабильности, активированности) статистически значимых различий установлено нами не было, при том что наметившиеся тенденции не противоречат исходным предположениям.

Проведен также сравнительный анализ результатов диагностики личностных особенностей, полученных с помощью вопросника Кэттелла. Статистически значимые различия между группами были установлены по двум факторам - Н и J. По фактору Н группу "аналитиков" можно в целом характеризовать как относительно более сдержанную, с ограниченным кругом интересов (Н-). Обычно люди с низкими показателями по этому фактору замкнуты, не стремятся к дополнительным контактам с людьми. Группа "геометров" имеет по этому личностному фактору большие величины (Н+) и отличается по нему определенной беззаботностью, общительностью. Такие люди не испытывают трудностей в общении, много и охотно идут на контакты, не теряются в неожиданных обстоятельствах. Они артистичны, способны выдерживать значительные эмоциональные нагрузки. По фактору J, который в целом характеризует такую черту личности, как индивидуализм, группа "аналитиков" имеет высокие среднегрупповые значения. Это означает, что им свойственны разумность, рассудительность, упорство. Люди, имеющие высокий вес по этому фактору, уделяют много внимания планированию своего поведения, при этом оставаясь замкнутыми и действуя индивидуально.

В противовес им, ребята, входящие в группу "геометров", энергичны, экспрессивны. Они любят совместные действия, готовы включиться в групповые интересы и проявить при этом свою активность. Наметившиеся различия показывают, что исследуемые группы математически одаренных учащихся наиболее расходятся по двум факторам, которые, с одной стороны, характеризуют определенную эмоциональную направленность (сдержанность, рассудительность - беззаботность, экспрессивность), с другой, особенности в межличностных отношениях (замкнутость - общительность). Интересно, что описание этих черт в значительной степени совпадает с описанием типов экстравертов-интровертов, предложенных Айзенком. В свою очередь, эти типы имеют определенную психофизиологическую интерпретацию. Экстраверты - это сильные, лабильные, активированные, интроверты - слабые, инертные, инактивированные. Тот же набор психофизиологических характеристик получен для специально человеческих типов высшей нервной деятельности - "художников" и "мыслителей".

Наши результаты позволяют выстроить определенные синдромы взаимосвязи психофизиологических, психологических признаков и типов математического мышления.

"аналитики" "геометры" (абстрактно-логический тип мышления) (наглядно-образный тип мышления)

Слабая н.с. сильная н.с.
рассудительность беззаботность
замкнутость общительность
интроверты экстраверты

Таким образом, проведенное нами комплексное исследование математически одаренных школьников позволило экспериментально подтвердить наличие определенного сочетания психологических и психофизиологических факторов, составляющих благоприятную основу для развития математических способностей. Это касается как общих, так и специальных моментов в проявлении данного вида способностей.

Особенности развития математических и спортивных способностей школьников

2.1 Психологическая структура математических способностей

способность школьник математический спортивный

Математика - это инструмент познания, мышления, развития. Он богат возможностями творческого обогащения. Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Особое значение математики в умственном развитии отметил еще в ХVIII веке М.В. Ломоносов: "Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит".

Существует общепризнанная классификация способностей. Согласно ей способности делятся на общие и специальные, определяющие успехи человека в отдельных видах деятельности и общения, где необходимы особого рода задатки и их развитие (способности математические, технические, литературно-лингвистические, художественно-творческие, спортивные и т.д.).

Математические способности обуславливаются не только хорошей памятью и вниманием. Для математика важно умение уловить порядок элементов, и умение оперировать этими данными. Эта своеобразная интуиция и есть основа математической способности.

В исследование математических способностей внесли свой вклад такие ученые в психологии, как А. Бинэ, Э. Торндайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Разумеется, исследование математических способностей следует начинать с определения. Попытки такого рода делались неоднократно, но установившегося, удовлетворяющего всех определения математических способностей не имеется до сих пор. Единственное, в чём сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, "школьные" способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Ещё в 1918 году в работе А. Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В. Бетц определяет математические способности как способности ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями.

Из работ отечественных авторов необходимо упомянуть оригинальную статью Д. Мордухай-Болтовского "Психология математического мышления", опубликованную в 1918 году. Автор, специалист математик, писал с идеалистической позиции, придавая, например, особое значение "бессознательному мыслительному процессу", утверждая, что "мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то, всплывая на её поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движения смычка" [цит. по 13, с. 45]. Внезапное появление в сознание готового решения какой-либо задачи, которую мы не можем долго решить, - пишет автор, - мы объясняем бессознательным мышлением, которое продолжало заниматься задачей, а результат всплывает за порог сознания [цит. по 13, с. 48]. По мнению Мордухай-Болтовского наш ум способен производить кропотливую и сложную работу в подсознании, где и совершается вся "черновая" работа, причём бессознательная работа мысли даже отличается меньшей погрешностью, чем сознательная.

Автор отмечает совершенно специфический характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуще даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница. Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит в частности:

* "сильную память", память на "предметы того типа, с которыми имеет дело математика", память скорее не на факты, а на идеи и мысли.

* "остроумие", под которым понимается способность "обнимать в одном суждении" понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отдалённых казалось бы, совершенно разнородных предметах.

* быстроту мысли (быстрота мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному). Бессознательное мышление, по мнению автора, протекает гораздо быстрее, чем сознательное.

Д. Мордухай-Болтовский высказывает так же свои соображения по поводу типов математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков - "геометров" и "алгебраистов". Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прорывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут воображать так, как "геометр".

Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская, говоря об индивидуальных различиях в обучаемости детей, вводит понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении. Они не употребляют термина "способности", но по существу соответствующее понятие близко к тому определению, которое дано выше.

Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, отнюдь не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявления которой мы условно называем "синдром математической одаренности".

Говоря о структуре математических способностей, следует отметить вклад в разработку данной проблемы В.А. Крутецкого. Собранный им экспериментальный материал позволяет говорить о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одарённость.

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте

1. Получение математической информации

А) Способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

А) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

Б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность к свёртыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

3. Хранение математической информации.

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

4. Общий синтетический компонент.

А) Математическая направленность ума.

Не входят в структуру математической одарённости те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума.

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные производить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трёхзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи.

Известно также, что существовали и существуют феноменальные "счётчики" не давшие математике ничего, а выдающийся математик А. Пуанкаре писал о себе, что без ошибки не может сделать даже сложение.

3. Память на цифры, формулы, числа. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости.

Следует подчеркнуть, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника. Нельзя сказать в какой мере её можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере её можно отнести к вполне сложившимся одарённым математикам.

Типы математических складов ума.

Хорошо известно, что в любой области науки одарённость как качественное сочетание способностей всегда многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одарённости всегда можно наметить какие-то основные типологические различия в структуре одарённости, выделить определённые типы, значительно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие к одинаково высоким достижениям в соответствующей области.

Об аналитическом и геометрическом типах упоминается работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Д. Мордухай-Болтовского, но с этими терминами у них связывается скорее логический, интуитивный пути творчества в математике.

Из отечественных исследователей вопросами индивидуальных различий учащихся при решении задач с точки зрения соотношения абстрактных и образных компонентов мышления много занималась Н.А. Менчинская. Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным; б) абстрактного над образным и в) гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя думать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический - в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический - в алгебре. В.А. Крутецкий дал развернутую характеристику каждого типа.

Аналитический тип.

Мышление представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлечёнными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использование предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости "наталкивают" на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Геометрический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлечёнными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно.

Гармонический тип.

Для этого типа характерно относительное равновесие хорошо развитых словесно-логического и наглядно-образного компонентов при ведущей роли первого. Пространственные представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся чётко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Успешно осуществляют они и образно-геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы, по-видимому, имеют общее значение. Наличие их подтверждается многими исследованиями [цит. по 10, с. 115].

Возрастные особенности математических способностей.

В зарубежной психологии до настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из ранних исследований Ж. Пиаже. Пиаже считал, что ребёнок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению. Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л. Шоанн пришёл к выводу, что в плане наглядно-конкретном школьник мыслит до 12-13 лет, а мышление в плане формальной алгебре, связанной с овладением операциями, символами, складывается лишь к 17 годам.

Исследование отечественных психологов дают иные результаты. Ещё П.П. Блонский писал об интенсивном развитие у подростка (11-14 лет) обобщающего и абстрагирующего мышления, умения доказывать и разбираться в доказательствах.

Возникает законный вопрос: в какой мере можно говорить о математических способностях по отношению к младшим школьникам? Исследования под руководством И.В. Дубровиной, даёт основание ответить на этот вопрос следующим образом. Конечно, исключая случаи особой одарённости, мы не можем говорить о сколько-либо сформированной структуре собственно математических способностей применительно к этому возрасту. Поэтому понятие "математические способности" условно в применении к младшим школьникам - детям 7-10-лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идти лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах.

Опытное обучение, которое осуществлялось в ряде школ сотрудниками Института психологии (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) показывает, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято думать. Однако, хотя возрастные особенности школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, считать, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на этот вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может "стать" весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер.

Произвольности здесь быть не может. Не может, например, способность к обобщению сложных математических отношений и методов сформироваться раньше, чем способность к обобщению простых математических отношений.

Таким образом, возрастные особенности, о которых говорится, - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированные на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

Половые различия в характеристике математических способностей.

Оказывают ли какое-нибудь влияние на характер развития математических способностей и на уровень достижений в соответствующей области половые различия? Имеют ли место качественно своеобразные особенности математического мышления мальчиков и девочек в школьном возрасте?

В зарубежной психологии имеются работы, где, сделана попытка выявить, отдельные качественные особенности математического мышления мальчиков и девочек. В. Штерн, говорит о своём не согласии с той точкой зрения, согласно которой различия в умственной области мужчин и женщин есть результат неодинакового воспитания. По его мнению, причины кроются в разных внутренних задатках. Поэтому женщины менее склоны к абстрактному мышлению и менее способны в этом отношении. Также проводились исследования под руководством Ч. Спирмена и Э. Торндайка, они пришли к выводу, что "в отношении способностей большой разницы нет", но при этом отмечают большую склонность девочек к детализированию, запоминанию подробностей.

Соответствующие исследования в отечественной психологии были проведены под руководством И.В. Дубровиной и С.И. Шапиро, они не обнаружили каких-либо качественных специфических особенностей в математическом мышление мальчиков и девочек. Не указали на эти различия и опрошенные ими учителя.

Разумеется, фактически мальчики чаще обнаруживают математические способности.

Победителями в математических олимпиадах чаще бывают мальчики, чем девочки. Но это фактическое различие надо отнести за счёт разницы в традициях, в воспитании мальчиков и девочек, за счет распространенного взгляда на мужские и женские профессии.

Это приводит к тому, что математика часто оказывается вне направленности интересов девочек.

1. Математические способности обуславливаются не только хорошей памятью и вниманием. Для математика важно умение уловить порядок элементов, и умение оперировать этими данными. Эта своеобразная интуиция и есть основа математической способности.

2. Возрастные особенности - это несколько условное понятие. Поэтому все исследования ориентированные на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения.

3. Соответствующие исследования в отечественной психологии не обнаружили каких-либо качественных специфических особенностей в математическом мышлении мальчиков и девочек.

Генетико-математические методы психогенетики

В 20--30-х годах работами С. Райта, Дж. Холдена и Р. Фишера были заложены основы генетико-математических методов изучения процессов, происходящих в популяциях...

Изучение условий развития творческих способностей детей 5-6 лет в условиях дошкольного образовательного учреждения

Процесс развития личности человека происходит на протяжении всей его жизни и затрагивает все ее стороны: совершенствование высших психических функций, становление черт характера, развитие способностей...

Личность и направленность личности в психологии

Различают статистическую и динамическую структуры личности. Под статистической структурой понимается отвлеченная от реально функционирующей личности абстрактная модель, характеризующая основные компоненты психики индивида...

Механизмы взаимопонимания в общении

В психологической науке взаимопонимание рассматривается как комплексный феномен, состоящий, по крайней мере, из четырех компонентов. Во-первых...

Образное мышление как необходимая компонента теоретического мышления (на материале математики)

Подобные представления об этих вещах весьма полезны, поскольку ничто не является для нас более наглядным, чем фигура, ибо ее можно осязать и видеть. Р...

Особенности развития математических и спортивных способностей школьников

В литературе широко используется понятие спортивных способностей. К сожалению, это понятие до сих пор четко не определено. В него включают все параметры...

Половая дифференциация: мышление

Привлекательность диагностики общих, а не специальных способностей состоит в том, что есть возможность решить "одним махом" ряд проблем, поскольку общие способности необходимы для любой деятельности и, по мнению многих исследователей...

Психологическая характеристика математических способностей школьников. Педагогические способности и их диагностика

Структура совокупности психических качеств, которая выступает как способность, в конечном счете, определяется требованиями конкретной деятельности и является различной для разных видов деятельности. Так...

Психологические особенности допроса и других процессуальных действий в судебном следствии

Психологическая структура судебной деятельности складывается из: 1.Познавательной; 2.Конструктивной; 3.Воспитательной; Если на предварительном следствии основной является познавательная деятельность, то в суде основной...

Психология музыкальных способностей

Пути воспитания и развития педагогических способностей у учителей

Развитие способностей связано с усвоением и творческим применением знаний, навыков и умений. Особенно важна обобщенность знаний и умений -- способность человека использовать их в различных ситуациях...

Современные представления о структуре личности в трудах отечественных и зарубежных ученых

Структура личности - основные части личности и способы взаимодействия между ними. Структура личности - то, из чего (из каких элементов) и как построена личность. В самых разных моделях...

Способности и возраст

Каждая способность имеет свою структуру, где можно различить опорные и ведущие свойства. Например, основным свойством способности к изобразительному искусству будет высокая природная чувствительность зрительного анализатора...

Структура личности с позиций деятельностного подхода

Личность человека представляет собой сложную психическую систему, находящуюся в состоянии непрерывного движения, динамики, развития. Как системное образование личность включает в себя элементы...

Формы и методы работы психолога с одаренными детьми

Любая деятельность, которой овладевает человек, предъявляет высокие требования к его психологическим качествам (особенностям интеллекта, эмоционально-волевой сферы, сенсомоторики)...